『オイラーの贈物』
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積み残しの処理？あんも.icon
上から順にノートと本と突き合わせていけばよさそう
演習問題で飛ばした部分が多い
付録も拾っておく
飛び出しを引っ込める？
重要度が低かった部分を切り出しから戻す
第Ⅰ部 基礎理論
1 パスカルの三角形
1.1 数の種類
1.1.1 自然数と素数
エラトステネスの篩
1.1.2 実数
三角不等式
1.2 二項展開とパスカルの三角形
1.2.1 計算の法則
偶数のみ奇数のみの階乗も表現できる
$ (2n)!! = 2^nn!
$ (2n - 1)!! = \frac{(2n)!}{2^nn!}
キャンセルを工夫すれば素因数を数えるのに利用できるあんも.icon
素因数分解を利用して$ 10!, 20!!, 100! を求めよ
10! = 2^8 * 3^4 * 5^2 * 7
3628800
20!! = 2^{10} * 10!
100!
2^{97} * 3^{48} * 5^{24} * 7^{16} * 11^9 * 13^7 * 17^5 * 19^5 * 23^4 * 29^3 * 31^3 * 37^2 * 41^2 * 43^2 * 47^2 * 53 * 59 * 61 * 67 * 71 * 73 * 79 * 83 * 89 * 97
素因数を数える
code:jl
function count_factor(base, max_num)
num_count = 0
pow = base
while pow <= max_num
num_count += max_num ÷ pow
pow *= base
end
return num_count
end
primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
count_factor.(primes, 100)
1.2.2 二項定理
1.3 パスカルの三角形に色を塗る
1.4 無限数列とその極限
1.4.1 パスカルの三角形と数列
1.4.2 無限数列の極限
1.5 収束の判定法
1.5.1 有界・単調数列
2026/1/6あんも.icon
1.5.2 項の比による判定法
2026/1/8あんも.icon
1.6 数列の和
1.6.1 パスカルの三角形と数の和
パスカルの三角形
1.6.2 無限数列の和
2026/1/8あんも.icon
交代級数の収束・発散を調べよ
2026/1/22あんも.icon
2 方程式と関数
2.1 方程式の根
2.1.1 1次方程式の解法
2.1.2 2次方程式の解法
2.2 複素数の四則
2.3 1のn乗根
2.3.1 代数学の基本定理
2.3.2 1のn乗根を求める
2.4 方程式を電卓で解く
2.4.1 計算の順序
2.4.2 桁落ち
2.4.3 計算の精度
2.5 関数とグラフ
2.5.1 連立方程式
2.5.2 関数と逆関数
2.5.3 逆関数
2026/1/9あんも.icon
2.5.4 関数のグラフ
2.6 関数の最大値・最小値
2.6.1 2次関数の最大値・最小値
2.6.2 接線の傾きと極値
2.7 関数の凹凸
割線: secant line
中点における関数値と比べる
2.8 平方根を求める
3 微分
3.1 連続関数の性質
直観的な定義から進めてみる
連続とは、切れ目なくつながっていること
滑らかとは、丸みをもち尖っていないこと
3.1.1 切れ目のある曲線
左側から近づいた場合と右側から近づいた場合で結果が異なる
明らかに連続でない曲線$ y=\lfloor x\rfloor の$ x=1 における値
$ \varepsilon < 1 なる正数$ \varepsilon を用いて2つの値を定義する:
code:tex
\begin{aligned}
y_+ &\coloneqq \lfloor 1+\varepsilon\rfloor,\\
y_- &\coloneqq \lfloor 1-\varepsilon\rfloor
\end{aligned}
この2つはどのように$ \varepsilon を小さく選んでも一致しない
直角双曲線$ y = \frac{1}{x} の$ x=0 を挟んだ値
正数$ \varepsilon を用いて2つの値を定義する:
code:tex
\begin{aligned}
y_+ &\coloneqq \frac{1}{0+\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon},\\
y_- &\coloneqq \frac{1}{0-\varepsilon} = -\frac{1}{\varepsilon}
\end{aligned}
この2つはどのように$ \varepsilon を小さく選んでも一致しない
$ \varepsilon\to\infty の極限はともに無限大に発散する
しかも、$ y = \tfrac{1}{x} は$ x=0 において定義されていない
関数値に穴が空いている
有理関数$ y = \frac{x(x-1)}{x-1}
$ x=1 において定義されていない
3.1.2 連続関数の定義
与えられた関数が点$ x=a において連続である
1. 関数値$ f(x) が定義されている
代入操作ができる
2. 極限値$ \lim_{x\to a}f(x) が存在し、有限確定値をとる
極限操作によって極限値が得られる
3. 両者が一致して$ f(x) = \lim_{x\to a}f(x) となる
3.1.3 極限の意味
数列の極限: $ \lim_{n\to\infty}a_n
項の番号$ n = 1, 2, 3, \cdots で番号づけされた数の列$ a_1, a_2, a_3, \cdots
項の変化は1通りに定められる
自然数の順序に依存する
関数の極限: $ \lim_{x\to a}f(x) = b
$ x\to a は$ x が$ a に漸近する、近づき方のすべてを表している
$ x>a なる値から近づく
$ x<a なる値から近づく
$ a を挟んで大小繰り返しながら徐々に近づく
$ \lim_{n\to\infty}x_n = a でありさえすれば、どのような数列に従っていてもよい
近づき方を適当な数列で定義できる
濃度の議論を先にやっておいたのがよかった？あんも.icon
大きさ以外の方法で数を順序づけることに馴染める
望ましい挙動をする任意の数列に対して、それらの数列から生成された数列の極限が、一定の値になればよい
関数の極限$ \lim_{x\to a}f(x) = b は、$ \lim_{n\to\infty}x_n = a である、任意の数列$ x_n を用いて作られた数列$ f(x_n) に対し:
$ \lim_{n\to\infty}f(x_n) = b を満足することを意味している
3.1.4 ε-δ式論法
3.1.5 連続関数に対する存在定理
中間値の定理
最大値・最小値の定理
3.2 微分の定義
3.2.1 微分係数と導関数
曲線と2点で交わる割線を考える
2点の距離が限りなく小さくなったとき、割線は接線となる
逆に、接線は1点において唯一本である
2点が右から近づいたときも、左から近づいたときも同じ傾きを定義しなければならない
連続な関数と同様の定義ができる
求めるべき接線の傾き$ m が存在して:
$ m = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
3.2.2 滑らかな関数の定義
不連続な関数は当然微分可能ではない
連続関数であっても、極限値$ \lim_{\Delta x\to 0}\tfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\tfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} が存在しない関数は微分可能ではない
極限値が存在すれば、$ \lim_{\Delta x\to 0}\Delta y = 0 となるので:
code:tex
\begin{aligned}
0 &= \lim_{\Delta x\to 0}\Delta y = \lim_{\Delta x\to 0}f(x-\Delta x) - \lim_{\Delta x\to 0}f(x)\\
&= \lim_{\Delta x\to 0}f(x-\Delta x) - f(x)\\
\end{aligned}
$ \lim_{\Delta x\to 0}f(x-\Delta x) = f(x) が得られた
これは微分可能な区間で連続関数であることを表している
3.2.3 高階導関数
3.3 平均値の定理と関数値の増減
3.3.1 平均値の定理
3.3.2 ド・ロピタルの定理
有理関数$ \tfrac{f(x)}{g(x)} の極限値を求める際に、不定形となることがある
不定形の極限値を求める強力な方法がある
3.4 導関数を求める
3.5 微分法の基礎公式
積の微分を用いて$ (x^n)' を求めよ
code:tex
\begin{aligned}
\mathrm{D}_x(x^n)
&= \mathrm{D}_x(x \cdot x^{n-1})\\
&= x^{n-1} + x\cdot \mathrm{D}_x(x^{n-1})\\
&= x^{n-1} + x^{n-1} + x^2\cdot \mathrm{D}_x(x^{n-2})\\
&= 2x^{n-1} + x^2\cdot \mathrm{D}_x(x\cdot x^{n-3})\\
&= 2x^{n-1} + x^{n-1} + x^3\cdot \mathrm{D}_x(x^{n-3})\\
&= 3x^{n-1} + x^3\cdot \mathrm{D}_x(x^{n-3})\\
&\quad\vdots\\
&= (n-1)x^{n-1} + x^{n-1}\cdot \mathrm{D}_x(x^{n-(n-1)})\\
&= (n-1)x^{n-1} + x^{n-1}\cdot \mathrm{D}_x(x)\\
&= nx^{n-1}\\
\end{aligned}
3.6 べき関数の微分（指数の拡張）
冪関数の微分の拡張
$ P_n \coloneqq \frac{1}{2^nn!}\,\mathrm{D}_x^n(x^2-1) \quad(n = 0, 1, 2, 3, \cdots)
3.7 ニュートン-ラフソン法
3.8 関数のグラフを描く
4 積分
4.1 面積と定積分
4.1.1 面積を求める
4.1.2 定積分の性質
4.2 原始関数
広義積分
積分区間が無限区間である場合
$ \lim_{M\to\infty}\int_a^Mf(x)\,\mathrm{d}x が収束し、極限値が定まるならば:
$ \int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x が定義できる
点$ a において定義されない関数$ f(x) に対して
$ \lim_{h\to 0}\int_{a-h}^bf(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - \lim_{h\to 0}F(a+h) が存在するならば積分が定義できる
4.3 べき関数の積分
$ f(x) = x^n の原始関数を$ F(x) として積分方程式$ F(x) = \int s^n \,\mathrm{d}x を解く
積分結果を積分定数$ C を用いて$ F(x) = Kx^N + C の形式であると仮定する
微分方程式で指数関数の解を仮定するみたいな方法あんも.icon
両辺を$ x で微分して得た$ x^n = KNx^{N-1} によって、$ KN = 1, N-1 = n と定められる
よって$ F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C を得る
一般に成立するための条件は$ x>0, n\neq -1
どこから出てきた？あんも.icon
xの微分の係数でマイナスを出したくない
分母0は定義されない
4.4 積分法の基礎公式
4.4.1 置換積分法
4.4.2 部分積分法
第Ⅱ部 関数の定義
5 テイラー展開
等比数列の和は$ \sum_{k=0}^na_k = \frac{1-p^{n+1}}{1-p} である
$ n\to\infty としたとき、その和は$ \sum_{k=0}^\infty p^k = \frac{1}{1-p} \quad(|p|<1) である
公比$ p を変数$ x で置き換える:
$ \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots
$ |x| < 1 であれば級数は収束するので、$ |x| < 1 で定義された関数$ I(x) を構成できる:
$ I(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}
逆に、与えられた関数を級数の形で表せるか？
5.1 テイラー多項式
有理式$ \frac{3x^3-7x^2+6x-1}{x^2-2x+1} を簡単にせよ
5.2 テイラー級数
5.2.1 剰余項を求める
飛躍が出てきてつらい？あんも.icon
飛躍を埋める程度の力がついていた
埋めるまでの期間は先に進まなかった
5.2.2 テイラー級数の定義
2026/1/13あんも.icon
5.2.3 項別微分・項別積分
5.3 一般の二項展開
2026/1/14あんも.icon
$ (1+x)^α = \sum_{n=0}^\infty {}_αC_n x^n
xが1に比べて十分小さく、2乗以上の項が無視できる場合が応用に便利
$ (1\pm x)^k \approx 1\pm kx
平方根の値を近似式で得る
代入する値を小さく選びたい
$ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{9}{4}\cdot\frac{4}{9}\cdot2} = \frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{1}{9}}
17/12
$ \sqrt{15} = 16\cdot\sqrt{\frac{15}{16}} = 4\sqrt{1-\frac{1}{16}}
31/8
$ \sqrt{99} = 10\sqrt{\frac{99}{100}} = 10\sqrt{1-\frac{1}{100}}
199/20
6 指数関数・対数関数
6.1 指数法則
6.2 指数関数
6.2.1 指数関数のグラフ
エルミートの多項式
6.2.2 級数による指数関数の定義
6.3 指数関数の性質
6.3.1 一般の指数法則
指数が実数でも成り立つことを示す
6.3.2 ネイピア数
冪級数による定義と一致する
収束が遅いので数値計算には不便な定義
ネイピア数の逆数の値を2つの方法で求めよ
1をネイピア数で割る
級数展開の式にx=-1を代入する
誤差関数$ g(x) = \int_0^x \exp(-t^2) \,\mathrm{d}t の$ g(1) をテイラー展開で求めよ
誤差の由来？あんも.icon
6.4 対数関数
6.4.1 対数関数の定義
2026/1/20あんも.icon
6.4.2 対数関数の性質
$ \log xy = \log x + \log y の導出
$ \log xy = \int_1^{xy} \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \int_1^x \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t + \int_x^{xy} \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t
右辺第二項を置換積分によって解く:
$ t=xs に従って変換し、積分範囲は$ t:[x, xy] から$ s:[1, y] に変換される
$ \int_x^{xy} \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \int_1^{y} \frac{1}{xs}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\,\mathrm{d}s = \int_1^{y} \frac{1}{s}\,\mathrm{d}s
元の式に戻す:
$ \int_1^{xy} \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t = \int_1^x \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t + \int_1^{y} \frac{1}{s}\,\mathrm{d}s = \log x + \log y
6.4.3 一般の底に対する指数法則
冪関数の微分を任意の実数の指数に拡張する
6.5 対数関数の級数展開
2026/1/21あんも.icon
2026/1/21あんも.icon
6.6 常用対数
7 三角関数
7.1 弧度法と円周率
7.1.1 弧度法
7.1.2 円周率π
π^2 = 9.869604401089358
秒振子
長さ1mの振り子
7.2 三角比
7.2.1 三角比の相互関係
余角
知られた三角比の値
正三角形や正方形を分割すれば得られる
7.2.2 余弦定理・正弦定理
7.3 加法定理（図式解法）
直角三角形の角を分割した先で相似な三角形を組む
角の和が直角を超える場合は証明していない
7.4 三角比の値を求める
三角比を直角三角形の辺の比で定義した
鈍角の場合は加法定理で拡張して定義する
7.5 三角関数の定義
7.5.1 三角関数の性質
7.5.2 三角関数のグラフ
7.6 ド・モアブルの定理
7.6.1 ド・モアブルの定理の導出
2026/1/31あんも.icon
7.6.2 n倍角の式
加法定理から導いていたそれぞれをまとめて表現できる
2026/1/30あんも.icon
7.7 三角関数の微分
7.8 三角関数の級数展開
2026/2/2 2あんも.icon
正接関数の級数展開
ベルヌーイ数？あんも.icon
7.8.1 三角関数の性質の再確認
級数展開を利用して三角関数の性質の確認ができる
偶奇性
級数展開を思い出すのに便利そう？あんも.icon
微分の関係
実解析関数であるから項別微分できる
7.8.2 極限計算への応用
幾何的に求めた極限$ \lim_{x\to 0}\tfrac{\sin x}{x},\; \lim_{x\to 0}\tfrac{\cos x -1}{x} を級数展開によって性質を調べることができる
code:tex
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}
&= \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\left( x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 +\cdots \right)\\
&= \lim_{x\to 0}\left( 1 - \frac{1}{3!}x^2 + \frac{1}{5!}x^4 - \frac{1}{7!}x^6 +\cdots \right)\\
&= 1\\
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x -1}{x}
&= \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\left( -1 + 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 +\cdots\right)\\
&=\lim_{x\to 0}\left( - \frac{1}{2!}x + \frac{1}{4!}x^3 - \frac{1}{6!}x^5 +\cdots\right)\\
&= 0
\end{aligned}
グラフを描けば明瞭にわかる
$ plot(-10:0.01:10, x -> (sin(x) / x))
$ plot(-10:0.01:10, x -> ((cos(x) - 1) / x))
2026/2/2 3あんも.icon
ここまで導いておくとオイラーの公式が自然に思えてくるあんも.icon
絶対収束の議論もしておけば隙がない？
7.9 逆三角関数
7.9.1逆三角関数の定義
任意の実数値を取る三角関数の逆関数は存在しないという表現は読み取りにくいあんも.icon
任意の実数値を取っているのはどっち？
取るの意味しているものは？
7.9.2 逆三角関数の微分
2026/2/3 1あんも.icon
逆正接関数の意義
7.9.3 逆正接関数の級数展開
2026/2/3 2あんも.icon
導関数を求めてから積分することで級数展開を得る流れがよく登場するあんも.icon
級数展開するために導関数を求めているのはわかる
テイラー級数は導関数で定義されているから
剰余項の収束を確認してテイラー展開につながる
逆関数についての導関数を求めているときがおもしろい
なぜか無限等比級数のテイラー展開が現れて収束の議論まで済んでしまう
微分したのを積分して後片付けする
逆関数の微分の形のせい？
これまでの例がそうだっただけ？あんも.icon
逆関数一般に起こることではなさそう？
対数関数: 指数関数の逆関数
逆正接関数: 正接関数の逆関数
7.9.4 πの値を求める
グレゴリーの公式
$ \frac{π}{4} = \arctan 1
マチンの公式
より加速した形式
$ \frac{π}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}
モンテカルロ法
第Ⅲ部 オイラーの公式とその応用
8 オイラーの公式
8.1 オイラーの公式の導出
2026/2/14 1あんも.icon
8.2 オイラーの公式の応用
8.2.1 複素数の幾何学
8.2.2 代数方程式への応用：1のn乗根
8.2.3 指数法則の利用：加法定理の導出
8.2.4 微積分に関連した話題
オイラーの定数
発散級数である調和級数から対数を引いたもの
ある一定の値に収束する
正割係数
9 ベクトルと行列
9.1 ベクトルの定義とその算法
9.1.1 ベクトルの定義
9.1.2 ベクトルの幾何的性質
9.1.3 ベクトルの内積
大きさ一定のベクトルは、常に自分自身の微分と直交する
基底ベクトルによる展開
基底ベクトルどうしの内積が0であることを利用した表示
9.2 行列の定義とその算法
9.2.1 行列の定義
9.2.2 一般的な行列の算法
9.2.3 行列計算の法則
9.2.4 ゼロ行列と単位行列
9.3 逆行列と連立1次方程式の解法
9.4 複素数の行列表現
行列の持つ面白い性質
パウリ行列
2026/2/22 1あんも.icon
9.5 オイラーの公式の行列表現
2026/2/22 2あんも.icon
行列による倍角の公式の導出
9.6 行列のn乗を求める
9.6.1 ケイリー・ハミルトンの公式
2026/2/23 1あんも.icon
9.6.2 行列に関する指数関数
2026/2/24 2あんも.icon
9.7 回転行列と正n角形
9.7.1 1の6乗根：行列の応用
9.7.2 1の6乗根：ベクトルの応用
10 フーリエ級数
10.1 ベクトル空間
10.2 無限次元空間
10.3 フーリエ級数
2026/2/24 4あんも.icon
10.4 フーリエ級数の応用例
第Ⅳ部 附録
附録A 発展的話題
A.1 ユークリッドの互除法
A.2 ディオファントス方程式
A.3 式に対するユークリッド互除法
A.4 等差数列
A.5 数学的帰納法と帰謬法
A.5.1 数学的帰納法
A.5.2 帰謬法とその例
A.6 整数論の基本定理
A.6.1 素数に関する定理
A.6.2 素数の分布
A.7 順列と組合せ
A.8 二次方程式と確率
A.9 連分数
A.9.1 行列を用いて部分和を求める
A.9.2 黄金数
A.10 無理数であることの証明
A.11 ピタゴラス数の一般解
A.12 数列の一般項と行列
固有方程式？
2026/2/25 1あんも.icon
A.13 代数方程式の代数的解法
A.13.1 1次方程式の解法
A.13.2 2次方程式の解法
A.13.3 3次方程式の解法
A.13.4 4次方程式の解法
A.14 導関数を用いた判別式の表現
n次方程式の判別式
A.15 高次方程式の例題を解く
A.16 部分分数分解
A.16.1 分母に重根のない場合
A.16.2 分母に重根のある場合
A.17 有理関数の積分
部分分数分解の一般形から導く
2026/2/5 1あんも.icon
置換積分のよくわからない発想が導ける？あんも.icon
A.18 一階線型微分方程式の解の公式
2026/2/27 1あんも.icon
A.19 行列形式による微分方程式の解法
2026/2/27 2あんも.icon
A.20 3次元のベクトル
A.20.1 ベクトルの外積
A.20.2 和の約束
A.20.3 ベクトルとテンソル
A.21 3次の正方行列
A.21.1 行列式とスカラー3重積
A.21.2 余因子行列と逆行列
A.22 ラプラス変換
A.22.1 基本的なラプラス変換
A.22.2 微分方程式の初期値問題を解く
附録B 各種数表
B.1 10000までの素数表
B.2 99までの自然数の逆数
B.3 10までの自然数の階乗とその逆数
B.4 20までの整数の!!
B.5 素数に対する自然対数のより詳しい値
B.6 自然対数の表
B.7 2の平方根の値（4000桁）
B.8 常用対数log10 2の値（4000桁）
B.9 ネイピア数eの値（4000桁）
B.10 円周率πの値（4000桁）
B.11 オイラーの定数γの値（4000桁）
B.12 度数法による三角関数表
B.13 逆正接関数の表
B.14 数の広場
B.15 文字の広場
B.16 パスカルの三角形（白紙）