放物線の連続性を確かめる
関数$ f(x)=x^2 の$ x=1 における連続性を確かめる
正数$ ε をひとつ定め、任意の$ x について:
$ |x-1| < δ,\quad |x^2 - 1^2| < ε を満たす$ δ を見つければよい
絶対値の性質より: $ |x^2 - 1| = |(x+1)(x-1)| = |x+1||x-1|
得られた因数について、三角不等式によって不等式が得られる:
$ |x+1| \le |x| + 1,\quad |x| - 1 \le |x-1|
$ |x-1| < δ であるのは、$ δ の定義により明らか
さらに$ |x| - 1 < δ も直ちに導かれる
$ |x+1| を$ δ の不等式で表す
変形で得られる$ |x| - 1 < δ \iff |x| + 1 < δ + 2 を用いれば:
$ |x+1| < δ + 2 である
したがって、不等式$ |x^2 - 1| < δ(δ + 2) を得た
問題がより具体的なものになった
正数$ ε をひとつ定め、任意の$ x について:$ |x^2 - 1| < δ(δ + 2) < ε を満たす$ δ は存在するか
つまり、任意の正数$ ε に対し、$ δ(δ + 2) < ε を満たす$ δ を常に定めることはできるか
xを考えなくてよくなったあんも.icon
この条件を満たす$ δ は与えられた正数$ ε に対して常に定めることができる
実際、放物線$ g(δ) = δ(δ + 2) を考えれば、$ g(δ) < ε となる領域が常に存在するあんも.icon
実数の連続性の問題に帰着できた
ゆえに、関数$ f(x)=x^2 は$ x=1 において連続である$ \square