数列が収束することを項の比によって示す
from 『オイラーの贈物』
極限値$ \lim_{n\to\infty}a_n は存在するか？
項の比の極限値がわかっていたらどうか？
$ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 ならば、$ \lim_{n\to\infty}a_n = 0 が成り立つ
極限値$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = K が存在して、$ |K| < 1 であると仮定する
仮定より、ある番号$ N_0 より大きいすべての$ N に対して:
$ \left|\frac{a_{N+1}}{a_N}\right| < r つまり、$ -r < \frac{a_{N+1}}{a_N} < r が成り立つ
$ r は$ (K < r < 1) なる正数
ある範囲に収まるなら、それより少し広い範囲にも収まっているはずあんも.icon
具体的な値$ N で考えられるように、範囲を緩める
これにより$ -ra_N < a_{N+1} < ra_N が得られる
同様にして少し先の項についても不等式が得られる:
$ -ra_{N+1} < a_{N+2} < ra_{N+1}
$ -ra_{N+2} < a_{N+3} < ra_{N+2}
3つの不等式はrを乗じることで1つの不等式にまとめることができる:
code:tex
\begin{gathered}
\underline{-r^3a_N}< r^2a_{N+1} < \underline{r^3a_N}\\
-r^2a_{N+1} < ra_{N+2} < r^2a_{N+1}\\
-ra_{N+2} < \underline{a_{N+3}} < ra_{N+2}
\end{gathered}
傍線部に注目すると$ -r^ka_N < a_{N+k} < r^ka_N を得る
これは$ |a_{N+k}| < r^ka_N を意味している
両辺の極限$ \lim_{k\to\infty}|a_{N+k}| < a_N\lim_{k\to\infty}r^k を考える
$ r について$ (0<r<1) であったので$ \lim_{k\to\infty}r^k = 0 である
はさみうちの原理により$ \lim_{k\to\infty}a_{N+k} = 0 であることがわかったので:
$ \lim_{n\to\infty}a_{n} = 0 が導かれた
つまり
$ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 ならば、$ \lim_{n\to\infty}a_n = 0 が成り立つ