ド・モアブルの定理でn倍角の式

ド・モアブルの定理を$ \cos nx について解く:

code:tex

\begin{aligned}

\cos nx

&= \frac{1}{2}\BigA(x)^n + B(x)^n\Big\\

&= \frac{1}{2}(\cos x + i\sin x)^n + \frac{1}{2}(\cos x - i\sin x)^n\\

&= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(\cos x)^{n-k}(i\sin x)^k

+ \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(\cos x)^{n-k}(-i\sin x)^k\\

&= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(\cos x)^{n-k}(\sin x)^ki^k\Big1+(-1)^k\Big\\

&= \sum_{k=0}^nI_k\binom{n}{k}(\cos x)^{n-k}(\sin x)^k\\

\end{aligned}

$ I_k \coloneqq \frac{1}{2}i^k \Big[1+(-1)^k\Big] と定めた

同様にして$ \sin nx についても解く:

code:tex

\begin{aligned}

\sin nx

&= \frac{1}{2i}\BigA(x)^n - B(x)^n\Big\\

&= \frac{1}{2i}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(\cos x)^{n-k}(\sin x)^ki^k\Big1-(-1)^k\Big\\

&= \sum_{k=0}^nJ_k\binom{n}{k}(\cos x)^{n-k}(\sin x)^k\\

\end{aligned}

$ J_k \coloneqq \frac{1}{2}i^{k-1} \Big[1-(-1)^k\Big] と定めた

$ I_k, \; J_k の動きを調べておく:

code:tex

\begin{aligned}

I_k &= 1, 0, -1, 0, 1, 0 \quad (k=0, 1, 2, 3, 4, 5),\\

J_k &= 0, 1, 0, -1, 0, 1 \quad (k=0, 1, 2, 3, 4, 5)

\end{aligned}

4回で循環している

$ k=5 までの$ \cos nx, \; \sin nx の動きを調べておく:

code:tex

\begin{darray}{c|c}

&\cos nx &\sin nx\\

\hline

k=0 &1\cdot\binom{n}{0}\cos^nx\cdot\sin^0x &0\\

k=1 &0 &1\cdot\binom{n}{1}\cos^{n-1}x\cdot\sin^1x\\

k=2 &-1\cdot\binom{n}{2}\cos^{n-2}x\cdot\sin^2x &0\\

k=3 &0 &-1\cdot\binom{n}{3}\cos^{n-3}x\cdot\sin^3x\\

k=4 &1\cdot\binom{n}{4}\cos^{n-4}x\cdot\sin^4x &0\\

k=5 &0 &1\cdot\binom{n}{5}\cos^{n-5}x\cdot\sin^5x

\end{darray}

$ \cos nx = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\tfrac{n}{2} \right\rfloor}(-1)^k\binom{n}{2k}\sin^{2k}x\cos^{n-2k}x

$ \sin nx = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\tfrac{n-1}{2} \right\rfloor}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\sin^{2k+1}x\cos^{n-(2k+1)}x

床関数で整数に丸める

半分にして個数を数えて終端処理あんも.icon

処理で混乱しないように抽象化して隠したい？

うまく隠蔽する方法？