ド・モアブルの定理

de Moivre's theorem

$ (\cos x \pm i\sin x)^n = \cos nx \pm i\sin nx

三角関数を含む関数についての指数法則

指数関数として表せるが、複素数を返すので実関数でないと予想できる

整数$ n について成り立つが、有理数・実数と拡張していけると応用できて好都合

三角関数の基本的な関係$ \cos^2x + \sin^2x = 1 に注目し、左辺を複素数の範囲で因数分解する:

$ \cos^2x + \sin^2x = (\cos x + i\sin x)(\cos x - i\sin x)

因数に注目して二つの関数を定義する:

code:tex

\begin{aligned}

A(x) &\coloneqq \cos x + i\sin x,\\

B(x) &\coloneqq \cos x - i\sin x

\end{aligned}

二つの関数の関係を調べておく

積が1: $ A(x)B(x) = 1

複素共役: $ B(x) = A(x)^*

関数$ A(x) の掛け算に対する性質を調べる:

code:tex

\begin{aligned}

A(x)A(y)

&= (\cos x + i\sin x) (\cos y + i\sin y)\\

&= \cos x \cos y - \sin x \sin y + i(\sin x \cos y + \cos x \sin y)\\

&= \cos(x+y) + i\sin(x+y)

\end{aligned}

$ A(x) は指数法則$ A(x)A(y) = A(x+y) をみたすので、任意の整数$ n に対して:

$ (\cos x + i\sin x)^n = \cos nx + i\sin nx

同様にして$ B(x)B(y) = B(x+y) が成り立つので:

$ (\cos x - i\sin x)^n = \cos nx - i\sin nx

二つをまとめる:

$ (\cos x \pm i\sin x)^n = \cos nx \pm i\sin nx