指数法則が成り立つことを確認する

from 『オイラーの贈物』

指数法則を満たすことについて定義する

$ φ(0) \neq 0 である関数$ φ に対して、$ φ(x+y) = φ(x)φ(y) を満たせばよい

一般的な関数とその関係についての定義にしておくあんも.icon

合理的な定義であるかを自然数の場合で確かめる

$ φ(0) の値

$ φ(0) = φ(0+0) = φ(0)φ(0) = φ(0)^2

仮定より$ φ(0)\neq 0 なので$ φ(0) = 1

$ φ(x) の関数の形

$ φ(1) = a とおく

$ φ(1) = φ\left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\right) = φ\left(\tfrac{1}{2}\right)φ\left(\tfrac{1}{2}\right) = \left[ φ\left(\tfrac{1}{2}\right) \right]^2 であるので$ a は正数である

引数を自然数として同様に繰り返す

code:tex

\begin{aligned}

φ(2) &= φ(1 + 1) = φ(1)φ(1) = φ(1)^2,\\

φ(3) &= φ(1 + 1 + 1) = φ(1)φ(1)φ(1) = φ(1)^3,\\

\vdots\\

φ(n) &= φ(1 + \cdots + 1) = φ(1)\times\cdots\timesφ(1) = φ(1)^n\\

\end{aligned}

よって、任意の自然数$ n に対して $ φ(n) = a^n である

先に$ φ(0) = 1 を得たので、$ φ(0) = a^0 = 1 を含む

任意の整数まで拡張する

$ 1 = φ(0) = φ(n-n) = φ(n)φ(-n) より:

$ φ(-n) = \frac{1}{φ(n)} であるので$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} を得る

整数までの結果を整理しておく

指数法則を関数の性質として定義できた

$ a^ma^n = φ(m)φ(n) = φ(m+n) = a^{m+n}

$ (a^m)^n = a^{mn} も導くことができる:

code:tex

\begin{aligned}

φ(m)^n

&= \underbrace{φ(m)\times\cdots\times φ(m)}_{\text{n個}}\\

&= φ(\underbrace{m+\cdots+ m}_{\text{n個}})\\

&= φ(mn)\\

\end{aligned}

$ (ab)^n = a^nb^n も導ける:

$ φ(1) = a, ψ(1) = b とおく

code:tex

\begin{aligned}

(ab)^n

&= \Big φ(1)ψ(1)\Big^n\\

&= \Big φ(1)ψ(1)\Big \times\cdots\times \Big φ(1)ψ(1)\Big\\

&= \Big φ(1)\times\cdots\timesφ(1)\Big \cdot \Bigψ(1) \times\cdots\timesψ(1)\Big\\

&= φ(1)^n ψ(1)^n

\end{aligned}

指数を有理数に拡張する

$ m を自然数、$ n を整数としても一般性を失わない

code:tex

\begin{aligned}

a^n= φ(n)

&= φ\left(m\times\frac{n}{m}\right)\\

&= φ\underbrace{\left(\frac{n}{m}+\cdots+\frac{n}{m}\right)}_\text{m個}\\

&= \underbrace{φ\left(\frac{n}{m}\right)\times\cdots\timesφ\left(\frac{n}{m}\right)}_\text{m個}\\

&= \leftφ\left(\frac{n}{m}\right)\right^m\\

&= \left(a^{\frac{n}{m}}\right)^m

\end{aligned}

これにより、有理数$ \tfrac{n}{m} に対して$ φ(\tfrac{n}{m}) = a^{\frac{n}{m}} が得られた

関数$ φ(x) の連続性を仮定すれば、無理数に対しても値が定まるあんも.icon

有理数以降に拡張する

指数関数が実数全体で定義できると成立しそうあんも.icon

自然対数の底について

指数関数を無限級数で定義するで無限級数で指数関数$ e^x を定義できた

指数関数$ e^x は実解析関数であり、実数全体で定義される

この定義から指数法則を導けるかを確かめる

指数関数$ e^{x+y} において、$ y を固定して考えても一般性を失わない

$ f(x) = e^{x+y} \quad (y = \mathrm{const}) と定義して、$ x で微分する:

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) = e^{x+y}\cdot 1

これにより、$ f^{(k)}(x) = e^{x+y}, \quad f^{(k)}(0) = e^y が導かれる

したがって、関数$ f(x) = e^{x+y} のテイラー展開を通して、指数法則が成り立つことを確認できる:

$ e^{x+y} = e^y \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k = e^y e^x

対数を用いて一般の底に拡張する

底の変換によって自然対数の底の場合に帰着させる

$ a = e^{\log a} を利用する

code:tex

\begin{aligned}

a^{x+y} &= e^{(x+y)\log a}\\

&= e^{x\log a+ y\log a}\\

&= e^{x\log a} \cdot e^{y\log a}\\

&= a^x \cdot a^y

\end{aligned}