指数関数を無限級数で定義する
関数$ f(x) = e^x は微分しても形の変わらない関数である
そうなるように底を定めたあんも.icon
導関数と$ x=0 における微分係数を簡単に求められる:
$ f^{(k)}(x) = e^x, \; f^{(k)}(0) = 1
テイラー展開する:
$ e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n + R_{n+1}
剰余項の評価をする
ラグランジュ型の剰余項を用いて、$ R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1} より:
$ R_{n+1} = \frac{e^c x^{n+1}}{(n+1)!} \quad(0<c<x)
$ x を固定して考えると、$ 0<c<x より$ 1<e^c<e^x であり:
$ \lim_{n\to\infty}R_{n+1} = e^c \lim_{n\to\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} = 0 となる
同様の議論を任意の$ x に拡張することができる
任意の$ x について、$ 1<e^c<e^x の大小関係が維持される
固定された値$ e^x で常に$ f^{(n+1)}(c) を押さえることができるあんも.icon
したがって、収束域は実数全体であることがわかる
剰余項は0に収束するので、指数関数$ e^x の級数展開が得られる:
$ e^x \coloneqq \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \cdots
これは実数全体で定義されている