剰余項を導く
ちょうど$ n 次の多項式にならずに、テイラー多項式で表示できない場合がある $ (n+1) 次以上の高階導関数がきれいに消えない場合
余った要素がどうなっているかを調べたい
関数$ f は任意階数の導関数が存在する、つまり十分滑らかであると仮定して$ f の独立変数を$ t で表す
1階導関数$ f^{(1)} を0から$ x まで積分する:
$ \int_0^xf^{(1)}(t)\,\mathrm{d}t = f(x)-f(0)
これを$ f(x) について解く:
$ f(x) = f(0) + \int_0^xf^{(1)}(t)\,\mathrm{d}t
関数$ f(x) が$ f(0) で近似され、余りが積分によって与えられているあんも.icon
すなわち、この場合の剰余項は:
$ R_1 = \int_0^xf^{(1)}(t)\,\mathrm{d}t である
剰余項$ R_1 から、有効な項をさらに絞り出したい
多項式をどんどん作り出していって、$ n 次の多項式に対しての$ (n+1) 次の剰余項を作りたい
その多項式はテイラー多項式になるように作り出す
$ (x-t)f^{(1)}(t) を$ t で微分する:
$ \mathrm{D}_t \Big[ (x-t)f^{(1)}(t) \Big] = -f^{(1)}(t) + (x-t)f^{(2)}(t)
これを$ f^{(1)}(t) について解く:
$ f^{(1)}(t) = (x-t)f^{(2)}(t) - \mathrm{D}_t \Big[ (x-t)f^{(1)}(t) \Big]
少し飛躍があるので埋めておくあんも.icon
部分積分を見据えて、先回りして微分から変形して得ている
積の微分から部分積分を導くのと同じ処理を具体的な関数でやっている
code:tex
\begin{aligned}
\int f^{(1)}(t)\,\mathrm{d}t
&= \int \left\{\mathrm{D}_t\Big-(x-t)\Big \cdot f^{(1)}(t) \right\}\,\mathrm{d}t\\ &= -(x-t)f^{(1)}(t) + \int (x-t)f^{(2)}(t)\,\mathrm{d}t\\
\int_0^x f^{(1)}(t)\,\mathrm{d}t
&= f^{(1)}(0)x + \int_0^x (x-t)f^{(2)}(t)\,\mathrm{d}t
\end{aligned}
部分積分の相方の関数？あんも.icon
テイラー多項式の形式になるようにしている
積分区間$ [0, x]
$ t=x のとき0
$ t=0 のときxの冪
$ a(x-t)^n の形式なら係数を調整できて都合がよさそう
仮定する多項式によって剰余項のバリエーションはいくつか作れそう
これを$ R_1 に代入して関数$ f(x) を整理する:
code:tex
\begin{aligned}
f(x)
&= f(0) + \int_0^xf^{(1)}(t)\,\mathrm{d}t\\
&= f(0) + \int_0^x \left\{ (x-t)f^{(2)}(t) - \mathrm{D}_t \Big (x-t)f^{(1)}(t) \Big \right\}\,\mathrm{d}t\\ &= f(0) + \int_0^x (x-t)f^{(2)}(t)\,\mathrm{d}t - \int_0^x \Big\{ \mathrm{D}_t \Big (x-t)f^{(1)}(t) \Big \Big\}\,\mathrm{d}t\\ &= f(0) + f^{(1)}(0)x + \int_0^x (x-t)f^{(2)}(t)\,\mathrm{d}t\\
\end{aligned}
このとき剰余項は$ R_2 = \int_0^x (x-t)f^{(2)}(t)\,\mathrm{d}t となる
続いて$ R_2 の被積分関数の形から、次の微分を考える
$ (x-t)^2f^{(2)}(t) を$ t で微分する
$ \mathrm{D}_t\Big[ (x-t)^2f^{(2)}(t) \Big] = -2(x-t)f^{(2)}(t) + (x-t)^2f^{(3)}(t)
これを$ (x-t)f^{(2)}(t) について解く:
$ (x-t)f^{(2)}(t) = \frac{1}{2}(x-t)^2f^{(3)}(t) -\frac{1}{2}\mathrm{D}_t\Big[(x-t)^2f^{(2)}(t) \Big]
これを$ R_2 に代入して関数$ f(x) を整理する:
code:tex
\begin{aligned}
f(x)
&= f(0) + f^{(1)}(0)x + \int_0^x (x-t)f^{(2)}(t)\,\mathrm{d}t\\
&= f(0) + f^{(1)}(0)x + \int_0^x \left\{ \frac{1}{2}(x-t)^2f^{(3)}(t) -\frac{1}{2}\mathrm{D}_t\Big (x-t)^2f^{(2)}(t) \Big \right\}\,\mathrm{d}t \\ &= f(0) + f^{(1)}(0)x + \frac{1}{2}\int_0^x (x-t)^2f^{(3)}(t)\,\mathrm{d}t -\frac{1}{2}\Big (x-t)^2f^{(2)}(t) \Big_0^x \\ &= f(0) + f^{(1)}(0)x + \frac{1}{2}f^{(2)}(0)x^2 + \frac{1}{2}\int_0^x (x-t)^2f^{(3)}(t)\,\mathrm{d}t
\end{aligned}
2階の導関数まで用いた式が得られた
このときの剰余項は$ R_3 = \frac{1}{2}\int_0^x (x-t)^2f^{(3)}(t)\,\mathrm{d}t となる
これを繰り返し、与えられた関数を$ n 次の多項式で表現した場合、剰余項は:
$ R_{n+1} = \frac{1}{n!}\int_0^x (x-t)^nf^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t となる