テイラー多項式
与えられた$ n 次の式を、$ x の冪の多項式の形に書き換える
与式を$ x の関数とみなし、定係数$ a_n を用いて、多項式の形で書けると仮定する
$ f(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k = a_0 + a_1x + a_2x^2 +a_3x^3 + a_4x^4 + \cdots +a_nx^n
両辺が等しくなるように係数$ a_n を定める
$ f(x) の高階導関数を求めて整理する:
code:tex
\begin{aligned}
f^{(0)}(x) &= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 + \cdots\\
f^{(1)}(x) &= a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3 + 5a_5x^4 + \cdots\\
f^{(2)}(x) &= 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x^2 + 20a_5x^3 + \cdots\\
f^{(3)}(x) &= 6a_3 + 24a_4x + 60a_5x^2 + \cdots\\
f^{(4)}(x) &= 24a_4 + 120a_5x + \cdots\\
\vdots\\
f^{(n)}(x) &= 1\times 2\times \cdots \times na_n = n!a_n\\
f^{(n+1)}(x) &= 0\\
\end{aligned}
$ f(x) は$ n 次の式であったので、$ (n+1) 階より上の導関数は存在しない
整理した式に$ x=0 を代入すれば、第1項だけを取り出せる
整理して係数について逆に解く
code:tex
\begin{alignedat}{3}
f^{(0)}(0) &= a_0, &a_0 &= f^{(0)}(0),\\
f^{(1)}(0) &= a_1, &a_1 &= f^{(1)}(0),\\
f^{(2)}(0) &= 2!a_2, &a_2 &= \frac{1}{2!}f^{(2)}(0),\\
f^{(3)}(0) &= 3!a_3, &a_3 &= \frac{1}{3!}f^{(3)}(0),\\
f^{(4)}(0) &= 4!a_4, &a_4 &= \frac{1}{4!}f^{(4)}(0),\\
\vdots\\
f^{(n)}(0) &= n!a_n,\quad &a_n &= \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)\\
\end{alignedat}
ゆえに、関数を級数で表した形
code:tex
\begin{aligned}
f(x)
&= f^{(0)}(0) + f^{(1)}(0)x + \frac{1}{2!}f^{(2)}(0)x^2 + \frac{1}{3!}f^{(3)}(0)x^3 + \frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n\\
&= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}f^{(k)}(0)x^k
\end{aligned}
を得る
$ x=0 における微分係数を利用して未定係数を決定した
$ x=a を中心とした展開は$ x 軸の平行移動$ x\Rarr(x-a) により直ちに導かれる
$ f(x)= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}f^{(k)}(0)(x-a)^k