逆三角関数の性質は逆正接関数に集約される

他の逆三角関数は逆正接関数の変形で導くことができる

区間を絞って定義したから？あんも.icon

$ x = \mathrm{Sin}\;y \quad \left(-\frac{π}{2}\le x \le \frac{π}{2}\right) \iff y = \arcsin x \quad (-1 \le x \le 1) について考える

逆関数の微分を利用して:

code:tex

\begin{aligned}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x

&= \frac{1}{\cfrac{\mathrm{d}(\mathrm{Sin}\;y) }{\mathrm{d}y}}\\

&=\frac{1}{\mathrm{Cos}\;y}

\end{aligned}

ここで、$ \mathrm{Sin}^2\;y + \mathrm{Cos}^2\;y = 1 より、$ \mathrm{Cos}\;y = \pm\sqrt{1-x^2} である

さらに、変域$ \left[-\frac{π}{2}\le x \le \frac{π}{2}\right] において$ \mathrm{Cos}\;y \ge 0 であるので、複号は正に定めることができる

逆正弦関数の微分が得られた:

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

同様にして、逆余弦関数の微分も得られる:

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos x = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

二つの式の辺々加えると$ \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\arcsin x + \arccos x) = 0 であるので:

$ \arcsin x + \arccos x = \mathrm{const} を得る

その定数は$ \arcsin 0 = 0, \; \arccos 0 = \tfrac{π}{2} を利用して:

$ \arcsin x + \arccos x = \frac{π}{2} である

定数の差しかないので、関数の性質はどちらか片方を調べればよい

さらに、逆正接関数について$ x = \mathrm{Sin}\;y を用いて:

code:tex

\begin{aligned}

\mathrm{Tan}\;y

&\coloneqq \frac{\mathrm{Sin}\;y}{\mathrm{Cos}\;y}\\

&= \frac{\mathrm{Sin}\;y}{\sqrt{1-\mathrm{Sin}^2\;y}}\\

&= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\

\end{aligned}

であるから$ y = \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) と表示できる

これは$ \arcsin x = \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) を意味している