三角関数を級数展開する
$ \sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 +\cdots
$ \cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 +\cdots
$ \sin x の高階導関数と$ x=0 での微分係数を整理しておく:
code:tex
\begin{alignedat}{3}
f^{(0)}(x) &= \sin x, &f^{(0)}(0) &= 0, \\
f^{(1)}(x) &= \cos x, &f^{(1)}(0) &= 1, \\
f^{(2)}(x) &= -\sin x, &f^{(2)}(0) &= 0,\\
f^{(3)}(x) &= -\cos x, &f^{(3)}(0) &= -1,\\
f^{(4)}(x) &= \sin x, &f^{(4)}(0) &= 0\\
\end{alignedat}
これらの結果をテイラー展開の式$ f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}f^{(k)}(0)x^k + R_{n+1} に代入する:
$ \sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 +\cdots + R_{n+1}
ラグランジュ型の剰余項$ R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1} \quad(0<c<x) を用いて剰余項を評価する:
$ |\sin c| \le 1, \; |\cos c| \le 1 より、有界であることがわかるので、直ちに:
$ \lim_{n\to\infty}R_{n+1}=0 を得る
$ \sin x の級数展開を得る
$ \sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 +\cdots
同様にして$ \cos x を級数展開する:
code:tex
\begin{alignedat}{3}
f^{(0)}(x) &= \cos x, &f^{(0)}(0) &= 1, \\
f^{(1)}(x) &= -\sin x, &f^{(1)}(0) &= 0, \\
f^{(2)}(x) &= -\cos x, &f^{(2)}(0) &= -1,\\
f^{(3)}(x) &= \sin x, &f^{(3)}(0) &= 0,\\
f^{(4)}(x) &= \cos x, &f^{(4)}(0) &= 1\\
\end{alignedat}
$ \cos x の級数展開を得る
$ \cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 +\cdots
これら二つの級数展開は、$ |\sin x| \le 1, \; |\cos x| \le 1 であるので、任意の実数$ x に対して収束する
実解析関数であり、超越関数である