一般の二項展開を示す
任意の実数で成り立つように拡張する
$ (1+x)^α = \sum_{n=0}^\infty {}_αC_n x^n
関数$ f(s) = (1+x)^α を定義する
$ α は任意の実数
定義域は$ |x| < 1
テイラー級数に展開する
高階導関数と$ x=0 における微分係数を計算する
code:tex
\begin{alignedat}{3}
f^{(0)}(x) &= (1+x)^α, &f^{(0)}(0) &= 1, \\
f^{(1)}(x) &= α(1+x)^{α-1}, &f^{(1)}(0) &= α, \\
f^{(2)}(x) &= α(α-1)(1+x)^{α-2}, &f^{(2)}(0) &= α(α-1), \\
f^{(3)}(x) &= α(α-1)(α-2)(1+x)^{α-3},\quad &f^{(3)}(0) &= α(α-1)(α-2),\\
\vdots\\
f^{(n+1)}(x) &= α(α-1)\times\cdots\times(α-n)(1+x)^{α-(n+1)}\\
\end{alignedat}
一般の二項係数$ {}_αC_n = \frac{1}{n!}α(α-1)(α-2)\times \cdots \times \Big[ α-(n-1)\Big] を用いて$ f^{(n+1)}(x) を書き換える: $ f^{(n+1)}(x) = (n+1)!{}_αC_{n+1}(1+x)^{α-(n+1)}
よって、剰余項$ R_{n+1} は:
code:tex
\begin{aligned}
R_{n+1}
&= \frac{1}{n!}\int_0^x (x-t)^nf^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t\\
&= \frac{1}{n!}\int_0^x (x-t)^n(n+1)!{}_αC_{n+1}(1+t)^{α-(n+1)} \,\mathrm{d}t\\
&= (n+1){}_αC_{n+1} \int_0^x \left(\frac{x-t}{1+t}\right)^n (1+t)^{α-1} \,\mathrm{d}t
\end{aligned}
となって、関数$ f(x) は一般の二項係数$ {}_αC_n を用いて:
$ f(x) = \sum_{m=0}^n {}_αC_m x^m + R_{n+1} と展開できる
剰余項が$ |x| < 1 の範囲で収束するか調べる
常に成り立つ不等式$ -|R_{n+1}| \le R_{n+1} \le |R_{n+1}| より:
code:tex
\begin{aligned}
|R_{n+1}|
&\le \left| (n+1){}_αC_{n+1} \int_0^x \left(\frac{x-t}{1+t}\right)^n (1+t)^{α-1} \,\mathrm{d}t \right|\\
&= (n+1) \,\Big|{}_αC_{n+1}\Big| \left|\int_0^x \left(\frac{x-t}{1+t}\right)^n (1+t)^{α-1} \,\mathrm{d}t\right|
\end{aligned}
となる
$ \left(\frac{x-t}{1+t}\right)^n の大きさをうまく評価したら収束の議論ができそうあんも.icon
より簡単な冪関数で押さえられるとうれしい
ここで、積分範囲に関わる$ x の範囲によって、$ t の範囲を正負の2つに分ける
$ 0<x<1 において、$ t>0 であるので:
$ \frac{x-t}{1+t} < x-t < x が成り立つ
$ -1<x<0 において、$ t<0 である
$ -1<t<0 であることに注意して不等式を変形する:
code:tex
\begin{aligned}
-1 < x
&\xRightarrow{\times t} -t > tx\\
&\xRightarrow{+x} x-t > x+tx = x(t+1)\\
\frac{x-t}{1+t} > x
\end{aligned}
$ t の正負それぞれについて$ \frac{x-t}{1+t} < |x|, \; -|x| < \frac{x-t}{1+t} であるので、2つをまとめることにより:
$ \left| \frac{x-t}{1+t} \right| < |x| を得る
折り返して絶対値をつけるあんも.icon
ここは補題として明示すると迷わない？あんも.icon
先の展開をやって、議論を単純にしたいモチベーションがあっての変形
$ \left| \frac{x-t}{1+t} \right| < |x| を得ることを目的としている
tを含まない式で押さえたい
積分における不等式$ \left|\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\right| \le \int_{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm{d}x を利用して:
code:tex
\begin{aligned}
\left|\int_0^x\left(\frac{x-t}{1+t}\right)^n (1+t)^{α-1} \,\mathrm{d}t\right|
&\le \int_0^x \left| \left(\frac{x-t}{1+t}\right)^n (1+t)^{α-1}\right| \,\mathrm{d}t\\
&= \int_0^x \left| \left(\frac{x-t}{1+t}\right)\right|^n \Big| (1+t)^{α-1} \Big| \,\mathrm{d}t\\
&< \int_0^x |x|^n \Big| (1+t)^{α-1} \Big| \,\mathrm{d}t
\quad \because \left| \frac{x-t}{1+t} \right| < |x| \\
&= |x|^n \int_0^x \Big| (1+t)^{α-1} \Big| \,\mathrm{d}t
\end{aligned}
が得られる
これらをまとめることで剰余項に対する評価式
$ |R_{n+1}| < (n+1) \Big| {}_αC_{n+1} x^n \Big| \int_0^x \Big| (1+t)^{α-1} \Big| \,\mathrm{d}t を得る
右辺の$ n に関する収束性を調べるために、数列$ a_n \coloneqq n {}_αC_n x^{n-1} を定義する
項の比による収束の判定法を用いる
code:tex
\begin{aligned}
\frac{a_{n+1}}{a_n}
&= \frac{(n+1) {}_αC_{n+1} x^{n}}{n {}_αC_n x^{n-1}}\\
&= \frac{n+1}{n}\cdot\frac{α-n}{n+1}x\\
&= \left( \frac{α}{n}-1 \right)x\\
\end{aligned}
この比の極限をとる:
$ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x| \lim_{n\to\infty} \left| \frac{α}{n} -1 \right| = |x|
$ x の範囲は$ |x| < 1 なので$ \lim_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 となる
したがって、$ a_n は$ n\to\infty に伴って0に収束する数列である
剰余項はこの$ a_n を因数に持つので、一般の二項展開の剰余項は$ \lim_{n\to\infty}R_{n+1} = 0 となり、テイラー級数は$ |x| < 1 の範囲で収束することが示された
すなわち、任意の実数を指数に持つ$ (1+x)^α は:
code:tex
\begin{aligned}
(1+x)^α
&= \sum_{n=0}^\infty {}_αC_n x^n\\
&= 1 + αx + \frac{1}{2!}α(α-1)x^2 + \frac{1}{3!}α(α-1)(α-2)x^3 + \cdots\\
\end{aligned}
と二項展開できる
αの範囲によって、収束域xの範囲を少し拡張できる
どうやって確認する？あんも.icon