一般の二項係数を係数とする数列の収束を示す
一般の二項係数を係数とする数列: $ \nu \isin \R
$ a_n = \frac{1}{n!}\nu(\nu-1)(\nu-2)\times \cdots \times \Big[\nu-(n-1)\Big] p^n
実数に拡張した一般の二項係数の部分を$ _\nu C _n と表記しておく $ \nu が自然数なら二項係数$ _\nu \mathrm{C} _n と一致する
数列$ a_n ={}_\nu C _n p^n の数列の極限値
$ a_{n+1}, a_n の比を考える:
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\begin{aligned}
\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{\nu(\nu-1)(\nu-2)\times \cdots \times (\nu-n)p^n /(n+1)!}
{\nu(\nu-1)(\nu-2)\times \cdots \times \Big\nu-(n-1)\Big p^n /n!}\\ &= \frac{\nu-n}{n+1}p
\end{aligned}
よって
$ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{\nu-n}{n+1}p\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{\nu}{n}-1}{1+\frac{1}{n}}p\right| = |p|
nが分母の分数にしたいあんも.icon
数列$ a_n は$ |p|<1 の場合に0に収束する
$ \lim_{n\to\infty}{}_\nu C _n p^n = 0 \quad(|p|<1)