対数関数を級数展開する

対数関数を$ x=0 の付近で展開する

$ \log x は0を含む負の変域では定義されないので、$ f(x) = \log (1+x) \quad (x>-1) を展開する

平行移動すれば目的のものが得られる

対数関数の定義より、$ \log (1+x) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1+t} である

右辺の被積分関数は、等比級数の展開式を利用して展開できる:

code:tex

\begin{aligned}

\frac{1}{1+t}

&= \frac{1}{1-(-t)}\\

&= 1 + (-t) + (-t)^2 + (-t)^3 + (-t)^4 + \cdots\\

&= 1 -t + t^2 - t^3 +t^4 + \cdots

\end{aligned}

この級数の収束域は$ |t| < 1 である

すでに剰余項と収束域の議論が済んでいるあんも.icon

被積分関数は$ |t| < 1 の範囲で級数展開できる

つまり、この範囲で実解析関数であり、項別積分可能なので整理する:

code:tex

\begin{aligned}

\log(1+x)

&= \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1+t}\\

&= \int_0^x (1 -t + t^2 - t^3 + t^4 - \cdots)\,\mathrm{d}t\\

&= x -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \cdots\\

&= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}

\end{aligned}

収束域は$ |t| < 1 であるが、得られた冪級数に$ x=1 を代入した級数:

$ 1 -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \cdots も収束して極限値は$ \log 2 となる

したがって収束域は$ -1<x\le1 となる

端点でも成り立って、収束域を少し拡大できるあんも.icon

対数関数の級数展開が得られた

$ \log (1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} \quad(-1<x\le1)