交代級数の収束を示す
交代級数$ S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots を考える その一般項$ a_n が$ a_{n+1} \le a_n, \quad \lim_{n\to\infty} a_n = 0 を満たすと仮定する
数列$ a_n の単調性と有界性を仮定する？あんも.icon
この仮定が外れるとどうなる？
大小関係が逆になるとか？
数列が収束しないと、端数が出る議論で発散しそう
級数の部分和の数列$ S_n を考える
末項の符号の正負で分けて考えるあんも.icon
交代級数の偶数番目までの和を$ S_{2m} として:
code:tex
\begin{aligned}
S_{2m}
&= a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots + a_{2m-1} - a_{2m}\\
&= (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \cdots + (a_{2m-1} - a_{2m})
\end{aligned}
と表せる
仮定した$ a_{n+1} \le a_n より、括弧内はすべて非負である
ゆえに$ S_{2m} \ge 0 であり、項数が増えればその和は単調増加する
さらに、式を変形すれば:
$ S_{2m} = a_1 - \Big[ (a_2 - a_3) + (a_4 - a_5) + \cdots + (a_{2m-2} - a_{2m-1}) + a_{2m} \Big]
仮定した$ a_{n+1} \le a_n より、$ S_{2m} - a_1 \le 0 となる
よって、$ S_{2m} は単調増加数列であり、その値は$ 0 \le S_{2m} \le a_1 で押さえられる
すなわち$ S_{2m} は収束する
その和を$ α とすれば$ \lim_{m\to\infty} S_{2m} = α である
奇数番目までの和を$ S_{2m+1} とすると$ S_{2m+1} = S_{2m} + a_{2m+1} であり前後の項の差は:
code:tex
\begin{aligned}
S_{2m+1} - S_{2m-1}
&= (S_{2m} + a_{2m+1}) - (S_{2m} + a_{2m})\\
&= a_{2m+1} - a_{2m}\\
&\le 0
\end{aligned}
であるので、単調減少する
偶奇で変化する$ a_{2m} につく符号に注意するあんも.icon
その極限値は:
code:tex
\begin{aligned}
\lim_{m\to\infty} S_{2m+1}
&= \lim_{m\to\infty} (S_{2m} + a_{2m+1})\\
&= \lim_{m\to\infty} S_{2m} + \lim_{m\to\infty} a_{2m+1}\\
&= α
\end{aligned}
となって$ S_{2m} と同じ極限値となる
$ S_{2m}, S_2{m+1} の関係を不等式で表す:
$ S_2 < S_4 < \cdots < S_{2m} < \cdots < α < \cdots < S_{2m+1} < \cdots < S_3 < S_1
交互に近づいていく動きになっている