等比級数をテイラー展開によって得る

code:tex

\begin{alignedat}{3}

f^{(0)}(x) &= \frac{1}{1-x}, &f^{(0)}(0) &= 1, \\

f^{(1)}(x) &= \frac{1}{(1-x)^2}, &f^{(1)}(0) &= 1, \\

f^{(2)}(x) &= \frac{2}{(1-x)^3}, &f^{(2)}(0) &= 2!,\\

f^{(3)}(x) &= \frac{6}{(1-x)^4}, &f^{(3)}(0) &= 3!,\\

\vdots\\

f^{(n)}(x) &= \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}, &f^{(n)}(0) &= n!,\\

f^{(n+1)}(x) &= \frac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}},\quad &f^{(n+1)}(0) &= (n+1)! \\

\end{alignedat}

剰余項を積分により求めて評価する

code:tex

\begin{aligned}

R_{n+1}

&= \frac{1}{n!}\int_0^x (x-t)^n \frac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}} \,\mathrm{d}t\\

&= (n+1)\int_0^x \frac{(x-t)^n}{(1-x)^{n+2}} \,\mathrm{d}t

\end{aligned}

積分を実行するために、新たな関数を微分する:

code:tex

\begin{aligned}

\mathrm{D}_t\left( \frac{x-t}{1-t} \right)^{n+1}

&= (n+1)\left( \frac{x-t}{1-t} \right)^n \frac{(x-1)}{(1-t)^2}\\

&= (n+1)(x-1)\frac{(x-t)^n}{(1-x)^{n+2}}

\end{aligned}

これにより被積分関数は書き換えることができる

code:tex

\frac{(x-t)^n}{(1-x)^{n+2}}

= \frac{1}{(n+1)(x-1)}\mathrm{D}_t\left( \frac{x-t}{1-t} \right)^{n+1}

code:tex

\begin{aligned}

R_{n+1}

&= -\frac{x^{n+1}}{x-1}

\end{aligned}

を得る

$ \lim_{n\to\infty} R_{n+1} = \lim_{n\to\infty} -\frac{x^{n+1}}{x-1} = 0

であるから、剰余項は収束し、無限級数が関数を定める

ゆえに、テイラー展開によって

code:tex

\begin{aligned}

f(x)

&= f^{(0)}(0) + f^{(1)}(0)x + \frac{1}{2!}f^{(2)}(0)x^2 + \frac{1}{3!}f^{(3)}(0)x^3 + \cdots\\

&= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots\\

&= \sum_{n=0}^\infty x^n

\end{aligned}

すなわち、等比級数の式

$ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n \quad (|x|<1)

が再現できた