典型的な導関数を定義に従って導いておく

$ x =C \quad (\mathrm{const})

$ \Delta y = C - C = 0

$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0

$ y = x^n \quad (n\isin\N)

二項定理で展開する

code:tex

\begin{aligned}

\Delta y

&= (x + \Delta x)^n - x^n\\

&= x^n +nx^{n-1}\Delta x + \cdots + nx(\Delta x)^{n-1} + (\Delta x)^n -x^n\\

&=nx^{n-1}\Delta x + \cdots + nx(\Delta x)^{n-1} + (\Delta x)^n\\

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

&= \lim_{\Delta x\to 0}

\frac{nx^{n-1}\Delta x + \cdots + nx(\Delta x)^{n-1} + (\Delta x)^n}

{\Delta x}\\

&=nx^{n-1}

\end{aligned}

$ y = \sqrt{ax + b}

微分の定義より:

$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{a(x+\Delta x)+b} - \sqrt{ax+b}}{\Delta x}

分子を有理化して整理する:

code:tex

\begin{aligned}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a(x+\Delta x)+b - (ax+b)}{\Delta x (\sqrt{a(x+\Delta x)+b} + \sqrt{ax+b})}\\

&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a}{\sqrt{a(x+\Delta x)+b} + \sqrt{ax+b}}\\

&= \frac{a}{2\sqrt{ax+b}}

\end{aligned}

$ y = \frac{1}{ax+b}

微分の定義より:

$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\left(\frac{1}{a(x+\Delta x)+b} - \frac{1}{ax+b} \right)

通分して整理する:

code:tex

\begin{aligned}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

&= \frac{-a}{(ax+b)^2}

\end{aligned}