微分
differentiation
微分係数: differential coefficient
増分: increment
曲線と2点で交わる割線を考える
2点の距離が限りなく小さくなったとき、割線は接線となる
逆に、接線は1点において唯一本である
2点が右から近づいたときも、左から近づいたときも同じ傾きを定義しなければならない
連続な関数と同様の定義ができる
求めるべき接線の傾き$ m が存在して:
$ m = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \coloneqq \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}
高階導関数
滑らかさ
表記の流儀
ラグランジュの流儀: $ f'(x), f^{(1)}(x)
ライプニッツの流儀: $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f
ローマン体の方が演算子として明確でよさそう？あんも.icon
微分演算子: $ \,\mathrm{D}_xf(x)
ニュートンの流儀$ \dot{x}
時間微分が前提の物理学における表示？あんも.icon
定義に従って導くほうが便利かな？あんも.icon
和と差の微分: $ (f\pm g)' = f' \pm g'
$ y = f(x)\pm g(x)
code:tex
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x} \pm \frac{g(x+\Delta x)- g(x)}{\Delta x}\\
&=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\pm\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}
\end{aligned}
積の微分: $ (fg)' = f'g + fg' 商の微分: $ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} 連鎖律: $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} 逆関数の微分: $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}} 偏微分
$ \frac{\partial f}{\partial x}