連鎖律 - じゆうちょう

連鎖律

chain rule

合成関数の微分

$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}

外側の微分と内側の微分の積になるあんも.icon

$ y = f(u), u = g(x)

$ y の増分は$ \Delta y = f(u+\Delta u) - f(u)

$ u の増分は$ \Delta u = g(x+\Delta x) - g(x)

$ \Delta x\to 0 のとき、$ \Delta u\to 0 である

よって:

code:tex

\begin{aligned}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\frac{\Delta u}{\Delta x}\\

&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}\\

&= \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}

\end{aligned}

不完全な証明？

ゼロ除算が発生してしまうらしい？あんも.icon

この証明では危うい場合があることを断っておけばいい

実際は危うい場合も回避して証明することができるらしい

いい感じに補題を組んで証明しなおしておく？