積の微分

$ (fg)'=f'g + fg'

$ y=f(x)g(x)

code:tex

\begin{aligned}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\

&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}

\bigg\{

\Big( f(x+\Delta x) - f(x)\Big)

\Big( g(x+\Delta x) - g(x)\Big)\\

&\qquad\qquad\quad + \Big( f(x+\Delta x) - f(x)\Big) g(x)\\

&\qquad\qquad\quad + f(x)\Big( g(x+\Delta x) - g(x)\Big)

\bigg\}\\

&= \lim_{\Delta x\to 0}

\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

\frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\Delta x\\

&\qquad\qquad +g(x)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\

&\qquad\qquad +f(x)\lim_{\Delta x\to 0}\frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

&= \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}g + f\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}

\end{aligned}

3つ以上の関数の積の場合も、2つの関数の積の場合を基本として導出できる