逆関数の微分
from 微分
逆関数の微分
関数$ y=f(x) とその逆関数$ x=f^{-1}(y) が微分可能であるとする
関数と逆関数における恒等式:
$ x = f^{-1}(f(x))
連鎖律に従って恒等式を$ x で微分する:
code:tex
\begin{aligned}
\mathrm{RHS}
&=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} = 1,\\
\mathrm{LHS}
&= \left\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f^{-1}(y)\right
\left\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\right\\
&= \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
&= \frac{1}{\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}
\end{aligned}