滑らかな関数 - じゆうちょう

滑らかな関数

smooth

与えられた関数$ f(x) が点$ x=a において滑らか

微分可能であり、その導関数が連続な関数であるような関数

1. 微分係数$ f'(a) を定められる

2. 導関数の極限値$ \lim_{x\to a}f'(x) が存在し、有限確定値をとる

極限が発散しない

左側極限と右側極限が一致する:

$ \lim_{x\nearrow a}f'(x) = \lim_{x\searrow a}f'(x)

3. 両者が一致して$ f'(a) = \lim_{x\to a}f'(x) となる

連続関数の定義を導関数について適用するあんも.icon

連続でない関数は当然微分可能ではない

連続関数について

極限値$ \lim_{\Delta x\to 0}\tfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\tfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} が存在しない関数は微分可能ではない

極限値が存在すれば、$ \lim_{\Delta x\to 0}\Delta y = 0 となるので:

code:tex

\begin{aligned}

0 &= \lim_{\Delta x\to 0}\Delta y = \lim_{\Delta x\to 0}f(x-\Delta x) - \lim_{\Delta x\to 0}f(x)\\

&= \lim_{\Delta x\to 0}f(x-\Delta x) - f(x).\\

\end{aligned}

$ \lim_{\Delta x\to 0}f(x-\Delta x) = f(x) が得られた

これは微分可能な区間で連続関数であることを表している