連続な関数
与えられた関数$ f(x) が点$ x=a において連続である
1. 関数値$ f(a) が定義されている
代入操作ができるあんも.icon
2. 極限値$ \lim_{x\to a}f(x) が存在し、有限確定値をとる
極限が発散しない
左側極限と右側極限が一致する:
$ \lim_{x\nearrow a}f(x) = \lim_{x\searrow a}f(x)
極限操作によって、近づき方によらない唯一つの極限値が得られるあんも.icon
3. 両者が一致して$ f(a) = \lim_{x\to a}f(x) となる
$ a の近くで定義された関数$ f(x) において、任意の正数$ ε に対して、適当な正数$ δ をとり:
$ |x - a| < δ なるすべての$ x について:
$ |f(x) - f(a)| < ε が成り立つとき、$ f(x) は$ x=a で連続であるという
$ 0<\forallε, 0<\existsδ(a, ε);\quad |x-a|<δ \Rarr |f(x)-f(a)|<ε
$ f(a) の存在が必要なので、代入操作を取り除くための$ 0<|x-a| の条件は外れるあんも.icon
近傍
δ-近傍: δ-neighborhood
$ |x-a|<δ
$ -δ < x-a < δ
ε-近傍
$ |f(x)-f(a)|<ε
$ -ε < f(x)-f(a) < ε
区間$ I で連続である
関数が$ x の区間$ I の各点で連続である場合、点から区間に拡張できる