ε-δ論法
関数の極限値を厳密に定義する方法
定義
$ aの近くで定義された関数$ f(x)において、任意の正の数$ \varepsilonに対して、適当な正の数$ \deltaを選ぶと:
$ 0<|x-a|<\deltaのすべての$ xについて$ |f(x)-b|<\varepsilon
となるならば、これを:
$ x\to aのとき$ f(x)\to b; あるいは$ \lim_{x\to a}=b と表す
これを論理記号で表すと:
$ \forall\varepsilon> 0\exists \delta>0\forall x(0<|x-a|<\delta \Rarr |f(x)-b|<\varepsilon) となる
具体例
$ f(x)=x^2で$ x\to 3のとき$ f(x)\to9を示す
$ \varepsilon=0.01とすると
具体的な操作をすることで、先に決めることが感覚的にわかる？あんも.icon
$ 0<|x-3|<\delta \Rightarrow |x^2-9|<0.01
$ \iff 3-\delta<x<3+\delta \Rarr \sqrt{8.99}<x<\sqrt{9.01}
これは$ \varepsilon をどんなに小さくしても満足させることができる
感覚的な言い方だが、実験するのには十分に思うあんも.icon
ε-δ論法のキーワード
量化子
全称量化子
存在量化子
論理式で書いた方がわかりやすく感じられるようになってきた
文章を慎重に読まなくてすむ
参考書
数列の極限値から攻める
関数の極限値から攻める
こちらの方が直感的？あんも.icon
避けてきたが、そろそろ見る必要が出てきた
深入りはしない
収束の議論では実際には不等式による評価が主流らしいが、懐刀としてε-δ論法が使えるのも悪くない？ 数学の分野では基礎教養のようなものなので、この使い方はできないみたい
数学を利用する立場からは禅問答と揶揄されることがある？ ε-δ形式で表現された、収束することを示す形式があるので、そこに帰着できればいい？
道具が増えた感じ？
数列の収束についてはまだ使えないので理解できていないあんも.icon
隠蔽されているだけで