三角不等式

triangle inequality

$ |a + b| \le |a| + |b|

$ |a|-|b| \le |a-b|

素朴な証明

code:tex

\begin{gathered}

-|a| \le a \le |a|,\\

-|b| \le b \le |b|

\end{gathered}

辺々加えて:

code:tex

\begin{aligned}

-(|a|+|b|) \le a+b &\le |a|+|b|\\

\iff|a+b|&\le|a|+|b| \quad{}_\Box

\end{aligned}

他の形式

$ \biggm\vert\sum_{i=1}^n{x_i}\biggm\vert\le\sum_{i=1}^n{|x_i|}

$ |x − z|\le|x − y| + |y − z|

$ ||x|−|y|| \le |x − y|

$ ||x|−|y|| \le |x + y|