フーリエ級数
Fourier series
$ a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)dx
$ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos{nx}dx
$ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin{nx}dx
を用いて、関数$ f(x) に対応する関数を考えることができる
対応関係を$ \sim で表記すると:
$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})
この対応関係が同値であることがわかれば、関数$ f(x) はフーリエ級数展開可能であることがわかる フーリエ級数の値の確認
部品
$ \int_0^{2\pi}\cos{mx}dx=\frac{1}{m}[\sin{mx}]_0^{2\pi}=0
$ \int_0^{2\pi}\sin{mx}dx=\frac{1}{m}[-\cos{mx}]_0^{2\pi}=\frac{1}{m}(-1+1)=0
複合
$ \int_0^{2\pi}\cos{mx}\sin{nx}dx=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(\sin{(m+n)x+\sin{(m-n)x}}\right)dx=0
$ \int_0^{2\pi}\cos{mx}\cos{nx}dx=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(\cos{(m+n)x+\cos{(m-n)x}}\right)dx=\begin{cases}\pi&(m=n)\\0&(m\neq n)\end{cases}
$ \because\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2m}\sin{2mx}+\cos0dx\right]_0^{2\pi}=\frac{1}{2}\cdot2\pi=\pi
$ \int_0^{2\pi}\sin{mx}\sin{nx}dx=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(-\cos{(m+n)x}+\cos{(m-n)x}\right)dx=\begin{cases}\pi&(m=n)\\0&(m\neq n)\end{cases}
$ \because\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2m}\sin{2mx}+\cos0dx\right]_0^{2\pi}=\frac{1}{2}\cdot2\pi=\pi