オイラーの公式を複素数の極形式による表示から導く

任意の複素数$ Z は極形式$ Z = r(\cos θ + i \sin θ) で表せる

三角関数を級数展開するを利用して三角関数を級数展開して整理する:

code:tex

\begin{aligned}

\cos θ + i \sin θ

&= \left( 1 - \frac{1}{2!}θ^2 + \frac{1}{4!}θ^4 \cdots\right)

+i\left( θ - \frac{1}{3!}θ^3 + \frac{1}{5!}θ^5\cdots \right)\\

&= 1 + iθ- \frac{1}{2!}θ^2 - \frac{1}{3!}iθ^3 + \frac{1}{4!}θ^4 + \frac{1}{5!}iθ^5\cdots

\end{aligned}

虚数単位に注意して変形して総和記号でまとめる:

code:tex

1 + iθ- \frac{1}{2!}θ^2 - \frac{1}{3!}iθ^3 + \frac{1}{4!}θ^4 + \frac{1}{5!}iθ^5\cdots

= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(iθ)^n

$ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \cdots

において形式的に$ x = iθ と置き換えたものに他ならない

したがって:

$ e^{i\theta} = \cos θ + i\sin θ を得る