逆正接関数を級数展開する

逆正接関数の導関数を求める

$ x = \mathrm{Tan}\;y \iff y = \arctan x \quad \left(-\frac{π}{2}\le y \le \frac{π}{2}\right)

逆関数の微分

code:tex

\begin{aligned}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x

&= \frac{1}{\cfrac{\mathrm{d}(\mathrm{Tan}\;y)}{\mathrm{d}y}}\\

&= \mathrm{Cos}^2\;y

\end{aligned}

ここで、$ \mathrm{Cos}^2\;y = \tfrac{1}{(\mathrm{Tan}^2\;y + 1)} = \tfrac{1}{1+x^2} より:

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x = \frac{1}{1+x^2} を得る

変形は$ \cos^2x + \sin^2x = 1 を変形すれば得られるあんも.icon

冪級数に展開する

等比級数をテイラー展開によって得るの結果$ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n \quad (|x|<1) を利用できる

code:tex

\begin{aligned}

\arctan x

&= \int_0^x\frac{1}{1-(-t^2)}\;\mathrm{d}t\\

&= \int_0^x(1 - t^2 + t^4 - t^6 + t^8 - \cdots )\;\mathrm{d}t\\

&= x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \frac{1}{9}x^9 - \cdots

\end{aligned}

この級数は利用した級数の収束域に従って$ |x| < 1 において収束する

$ |-t^2| < 1 \iff |t| < 1 あんも.icon

さらに、$ \pm 1 を代入して得られる交代級数:

$ \pm\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots\right) も収束する

収束域を拡張できて、$ |x| \le 1 となる

逆正接関数の級数展開を得た

$ \arctan x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \frac{1}{9}x^9 - \cdots \quad (|x| \le 1)