対数関数を積分で定義する

対数関数を、指数関数の逆関数の導関数の積分で定義する

独立変数を$ u とする指数関数$ x = e^u の逆関数:

$ u = A(x) \quad(x>0) を考える

逆関数の性質を利用し、直ちに導かれる$ A(x) の関数値を調べておく:

code:tex

\begin{aligned}

e^0 = 1 &\iff A(1) = 0, \\

e^1 = e &\iff A(e) = 1

\end{aligned}

逆関数の微分により、$ A(x) を$ x で微分する:

$ \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}} = \frac{1}{e^u} より$ \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x} を得る

指数関数$ x = e^u の逆関数を微分すると$ \tfrac{1}{x} になるが、冪関数の微分ではこの値は登場しなかったあんも.icon

指数関数の逆関数は、冪関数ではないことが強く予想される

両辺を積分して対数関数$ \log x を定義する:

$ \log x \coloneqq A(x) = \int_1^x \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t \quad(x>0)

積分区間の下端は$ A(1) = 0 となるように選んだ

対数関数の導入によって、$ \tfrac{1}{x} の原始関数を表すことができる:

$ \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \log |x| + C

指数関数について常に$ e^u > 0 であったので、対数関数の引数は常に正でなければいけない

定義を少しいじって区間[-x, -1]で負の場合を定義する？あんも.icon

うまくいかなそう？

正の場合の下端の1は$ e^0 = 1 \iff A(1) = 0 を見て選ばれている

負の場合の選び方？