不定積分を定積分から定義する

不定積分を定積分から定義する

定積分において、積分の下端を定数で固定し、上端を変数として新たな関数を定義する:

$ S(x) = \int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t

上端が下端以下の値に動く場合も符号の反転で処理できる？あんも.icon

$ S の増分$ \Delta S = S(x+\Delta x) - S(x) を下方和と上方和で上下から評価する:

code:tex

\begin{aligned}

&S_\mathrm{low}<\Delta S < S_\mathrm{up},\\

&\iff f(x)\Delta x < S(x+\Delta x) - S(x) < f(x+\Delta x)\Delta x,\\

&\iff f(x) < \frac{S(x+\Delta x) - S(x)}{\Delta x} < f(x+\Delta x)

\end{aligned}\\

$ \Delta x\to 0 の極限を考えると、中央の項は微分の定義に他ならない:

$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{S(x+\Delta x) - S(x)}{\Delta x} = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}

両端の項の極限も共に$ f(x) となるので$ f(x) = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x} が得られる

極限で関数が現れた場合もはさみうちの原理を使える？あんも.icon

定義された各々の点での大小関係が維持されるならうまくいきそう

$ f(x) が連続な関数ならいい？

積分を考えているから仮定してよさそう

$ \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = f(x) となるような、関数$ f(x) に対しての原始関数$ F(x) が定義できる

面積$ S(x) を関数$ f(x) に対しての原始関数$ F(x) で表したい

$ \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x} より、$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F-S)=0 であるので、定数$ C を用いて:

$ S(x) = F(x) + C を得る

積分の上端も$ a となる場合、すなわち積分範囲が0の場合は$ S(a)=0 となるので:

$ C = -F(a) と定まる

初期値0を与えて定数を消すあんも.icon

関数方程式によくある方法？

まとめると、原始関数を用いることで積分記号を外すことができる

$ S(x) = \int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t = F(x) - F(a)