部分和の極限で等比級数を定義する
等比数列の第n項までの和$ S_n = \frac{1-r^n}{1-r}
$ S = \sum_{n=0}^\infty p^n = 1 + p + p^2 + p^3 + \cdots + p^n + \cdots
項が無限に続く場合の和はどう定義する？
有限和の式より、第n項までの和として第n部分和$ I_n を考える
$ I_n = \frac{1-p^{n+1}}{1-p} = \frac{1}{1-p} -\frac{p^{n+1}}{1-p}
添字nを動かすことにより、部分和を項とする数列$ I_n を構成する
code:tex
\begin{aligned}
I_0 &\coloneqq 1 &= \frac{1}{1-p} -\frac{p}{1-p}\\
I_1 &\coloneqq 1 + p &= \frac{1}{1-p} -\frac{p^{2}}{1-p}\\
I_2 &\coloneqq 1 + p + p^2 &= \frac{1}{1-p} -\frac{p^{3}}{1-p}\\
\vdots\\
I_n &\coloneqq 1 + p + p^2 + p^3 + \cdots + p^n &= \frac{1}{1-p} -\frac{p^{n+1}}{1-p}
\end{aligned}
この数列$ I_n において:
$ n\to\infty のとき第n部分和$ I_n が収束し、極限値$ \alpha をもつならば、無限級数$ S も収束し、その極限値$ \alpha が無限数列の和を与える
$ \lim_{n\to\infty}I_n = \alpha \implies S = \alpha
と定義する
コーシーによる定義
第n部分和$ I_n の極限について調べる:
code:tex
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}I_n
&= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1-p} -\frac{p^{n+1}}{1-p}\right)\\
&= \frac{1}{1-p} -\frac{p}{1-p}\lim_{n\to\infty}p^n
\end{aligned}
$ \lim_{n\to\infty}p^n は$ |p|<1 の場合に0に収束する
したがって、$ I_n の極限値は:
$ \lim_{n\to\infty}I_n = \frac{1}{1-p} となる
この数列$ I_n の極限値がもとの無限級数$ S を定める
$ S = \sum_{n=0}^\infty p^n = \frac{1}{1-p} \quad(|p|<1)
この場合、級数$ S の第n項について$ \lim_{n\to\infty}p^n = 0 であることが必要
であるが、単に数列$ p^n が収束することのみでは級数が収束するかを判定できない