数列が収束することを有界性と単調性を導くことで示す
数列$ S_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n は収束するか？
極限値$ \lim_{n\to\infty}S_n は存在するか？
単調性を示す
$ S_n とその次の項$ S_{n+1} の大小関係を調べる
code:tex
\begin{aligned}
S_n &= 1 + n\frac{1}{n} + \frac{1}{2!}n(n-1)\frac{1}{n^2} + \frac{1}{3!}n(n-1)(n-2)\frac{1}{n^3} + \cdots\\
&= 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) + \cdots,\\
S_{n+1}&= 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right) + \frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) + \cdots\\
\end{aligned}
対応する括弧内の数を比較すると、すべての項において$ S_{n+1} のほうが大きい
よって常に$ S_n < S_{n+1} であり、$ S_n は単調増加数列であることが示せた
有界性を示す
$ S_n について新たに大小関係を考えることができて:
code:tex
\begin{aligned}
S_n &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) + \cdots + \frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\\
&\le 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!}
\end{aligned}
のように、より単純な和で押さえることができる
さらに、3以上の自然数$ n において$ n! > 2^{n-1} であるので:
code:tex
\begin{aligned}
S_n &< 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}\\
&= 1 + \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1- \left(\frac{1}{2}\right)}\\
&=3-2\left(\frac{1}{2}\right)^n\\
&<3
\end{aligned}
であり、上界をもつことが示せた