定積分を図形の無限分割から定義する

定積分を図形の無限分割から定義する

与えられた図形の面積$ S を単純な図形で近似することで求めたい

1つの単純な図形による方法

図形内部にちょうど入る小さな図形: $ S_\mathrm{low}

図形全体をちょうど覆い隠す大きな図形: $ S_\mathrm{up}

細分化された複数の単純な図形でやれば精度を高められる

code:tex

\begin{aligned}

S_\mathrm{low}

&= \sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\Delta x\\

S_\mathrm{up}

&= \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x\\

\end{aligned}

イテレータをずらしただけで分割数は同じあんも.icon

面積が関数値より大きくなるか小さくなるか

求める面積を下方和$ S_{\mathrm{low}} と上方和$ S_{\mathrm{up}} で上下から評価する:

$ \sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\Delta x < S < \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x

分割数を増やせば近似精度を高められる

刻みの数$ x を大きくすることは、刻み幅$ \Delta x を小さくすることに他ならない

極限によって積分を定義する:

code:tex

\begin{aligned}

&= \lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\Delta x = \lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x\\

&= \int_{x_0}^{x_n}f(x)\,\mathrm{d}x

\end{aligned}

一致することの正当性？あんも.icon

関数$ f が連続で端があるならうまくいきそう

リーマン積分？