自然対数の底を作る

指数関数のグラフから予想を立てておく

code:julia

using Plots

x = -0.5:0.0001:0.5

plot(x, 2 .^x, 3 .^x, x .+ 1, framestyle=:origin)

指数関数$ a^x の導関数を定義に従って求める

code:tex

\begin{aligned}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x

&= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{a^{x+\Delta x} - a^x}{\Delta x}\\

&= a^x\lim_{\Delta x\to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}\\

&= K_aa^x

\end{aligned}

不定の極限値を$ K_a とおいた

$ x=0 での$ a^x の微分係数

グラフから、$ K_2<1<K_3 である

極限値$ K_a が1に等しくなるような特別な数を底に選んで$ e とする

$ K_2<1<K_3 であるので、$ 2<e<3 の範囲にある

数$ e は仮定より$ K_e=1 であるから $ \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = 1 となる

したがって、$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x となって$ e^x の導関数はその関数形を変えない

自然対数の底の性質を定めたあんも.icon

ある性質において、単位操作を決めるのはモチベーション？

弧度法におけるラジアン

単位行列