連続体力学メモ - くたくたじゅうよん

連続体力学メモ

(2022-09-22)takker.iconが連続体力学の学習でまだやれていないのが、連続体力学に登場するパラメタの時間微分の性質

このページで、言葉の定義を整理しつつ、理解を書き出してみたい

2024-01-05 連続体力学全般のメモを書くページに変えた

まとまったメモから適宜切り出している

物質点の位置

大文字の$ \bm{X}が物質点の初期配置とともに、物質点そのものを表す

小文字の$ \bm{x}が物質点の原位置をあらわす

$ \bm Xを物質座標、$ \bm xを空間座標と呼ぶこともある

実際にはvectorなので、物質位置ベクトル、空間位置ベクトルと読んだほうがいいのかもしれないが、今度は物質ベクトル、空間ベクトルと混同しそうなのでやめておく

cf. 連続体の運動の記述方法#62ba616f1280f0000000ea6c60

両者は運動函数$ \bm\phiで結ばれる

$ \bm x=\bm\phi(\bm X,t)

$ \bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)

逆函数の定義とは食い違う($ tが逆になっていない)が、便宜上逆函数の記号$ ^{-1}を流用する

性質

$ \bm X=\bm\phi(\bm X,0)

基準配置の意味を表す式

基準時刻$ t=0のときの位置なので、基準配置という

$ \bm\phi(\bm\phi^{-1}(\bm x_0,t_0),t_1)：時刻$ t_0のとき位置$ \bm x_0にいた物質点が、時刻$ t_1にいた位置

記号の約束

ドット記号の微分演算子は、常に時間の偏微分を表すことにする

$ \dot{a}:=\frac{\partial a}{\partial t}

物質点$ \bm Xの函数を大文字で、それに対応する空間表示の函数を小文字で表す

大文字をalphabetと区別できないギリシャ文字や、すでに大文字を別の物理量に使っている文字の場合は、$ \tilde\bulletで物質表示への変換を表すことにする

$ \Theta(\bm X,t)=\theta(\bm\phi(\bm X,t),t)

$ \tilde\rho(\bm X,t)=\rho(\bm\phi(\bm X,t),t)

変形の記述

変形勾配tensor$ \bm Fを組み合わせて記述する

変形tensor

$ \bm C:=\bm F^\top\cdot\bm F：右Cauchy-Green変形tensor

$ \bm b:=\left.\bm F\cdot\bm F^\top\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}：左Cauchy-Green変形tensor

変換式

$ \bm b=\left.({\bm F^\top}^{-1}\cdot\bm C\cdot\bm F^{-1})\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}

変形tensorの物理的な意味

初期配置のノルムと現配置のノルムとの関係を表している

$ \bm Cは初期配置から現配置のノルムを求める変換

$ |\mathrm d\bm\phi|^2=|\bm F\cdot\mathrm d\bm X|^2=\bm C:\mathrm d\bm X\mathrm d\bm X

$ \bm b^{-1}は現配置から初期配置のノルムを求める変換

$ |\mathrm d\bm X|^2= \left.\bm b^{-1}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}:\mathrm d\bm\phi\mathrm d\bm\phi

$ |\mathrm d\bm\phi^{-1}|^2=\bm b^{-1}:\mathrm d\bm x\mathrm d\bm x

導出

$ |\mathrm d\bm X|^2=|\bm F^{-1}\cdot\mathrm d\bm\phi|^2

$ = ({\bm F^{-1}}^\top\cdot\bm F^{-1}):\mathrm d\bm\phi\mathrm d\bm\phi

$ = ({\bm F^\top}^{-1}\cdot\bm F^{-1}):\mathrm d\bm\phi\mathrm d\bm\phi

$ = (\bm F\cdot\bm F^\top)^{-1}:\mathrm d\bm\phi\mathrm d\bm\phi

$ = \left.\bm b^{-1}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}:\mathrm d\bm\phi\mathrm d\bm\phi

有限ひずみtensor

物質ひずみtensor

空間ひずみtensor

物質ひずみtensor$ \bm Eと空間ひずみtensor$ \bm eとの変換式

$ \bm E=\bm F^\top\cdot\left.\bm e\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F

$ \bm e=\left.({\bm F^\top}^{-1}\cdot\bm E\cdot\bm F^{-1})\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}

導出

$ \bm E=\frac12(\bm C-\bm I)

$ = \frac12(\bm F^\top\cdot\bm F-\bm F^\top\cdot{\bm F^\top}^{-1}\cdot\bm F^{-1}\cdot\bm F)

$ = \frac12(\bm F^\top\cdot\bm I\cdot\bm F-\bm F^\top\cdot(\bm F\cdot{\bm F^\top})^{-1}\cdot\bm F)

$ = \bm F^\top\cdot\frac12\left(\bm I-\left.\bm b^{-1}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\right)\cdot\bm F

$ = \bm F^\top\cdot\left.\bm e\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F

偏差成分

$ \det A=1となるtensorのこと

体積変化しない変換とも言える

等容変形成分とも言う

from 『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』

$ \bm Aの等容変形成分を$ \hat{\bm A}とする

$ \hat{\bm A}:=(\det A)^{-\frac1{{\rm tr}\bm I}}\bm A\llbracket\det\bm A\ne0\rrbracket

単位vectorでよく使われる記号を流用した

$ |\bm A|=\det\bm A=1だから、単位vectorにおける定義とも整合する

無次元になる点も共通する

$ \bm Fは体積変形成分$ Jと等容変形成分$ \hat{\bm F}に分解できる

$ \hat{\bm F}=J^{-\frac13}\bm F (3次元の場合)

等方-偏差分解とは別の概念であることに注意

混乱しないよう、以降は等容変形成分という呼び名を採用する

速度

紛らわしさを避けるため、独自に用語を定義する

物質速度

$ \dot{\bm{\phi}}=\frac{\partial \bm{\phi}}{\partial t}

物質点の速度をそのまま物質表示したもの

空間速度=流速の空間表示

$ \bm{v}:=\dot{\bm{\phi}}(\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t),t)

空間速度と呼ぶほうがしっくりくるかも？

一般に使われる流速と等しい

流体力学に限定されないので、輸送速度という言葉を使ったほうがいいかもしれない

2024-04-03 13:20:53 輸送の性質は表示で変化しないので、この名前を空間表示と結びつけるのは不適

まあ慣れてるし、流速でいいや

2024-04-03 13:21:25 空間速度を好んで使うようになっている

流体に限定されない言い方だからかな

ちょうど$ \bm xを空間位置と呼ぶことにすると、この命名法と整合性がとれるのでますます気に入ったtakker.icon

変形勾配tensorの時間微分

逆函数の微分$ \bm{\nabla}\bm{f}^{-1}=\left(\left.\bm{\nabla}\bm{f}(\bm{x})\right|_{\bm{x}=\bm{f}^{-1}}\right)^{-1}

時間微分

物質微分

物質点を固定した時の時間微分量

演算子は$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}が用いられる

物質表示された量の場合は、単に時間で偏微分しただけ

$ \frac{\mathrm{D}\dot{\bm{\phi}}}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial\dot{\bm{\phi}}}{\partial t}=\frac{\partial^2\bm{\phi}}{{\partial t}^2}

空間表示された量の場合は、一旦物質表示に変えた量を時間で偏微分してから、空間表示に戻す

$ \frac{\mathrm{D}\psi(\bm{x},t)}{\mathrm{D}t}=\left.\left(\frac{\partial\psi(\bm{\phi}(\bm{X},t),t)}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\dot\psi+\bm v\cdot\bm\nabla\psi

変形勾配tensorの逆tensor

変形勾配tensorの時間微分

変形勾配tensor$ \bm Fの物質表示/空間表示の関係

変形勾配tensorの逆tensorを参照

変形勾配tensor

速度勾配tensor$ \bm l

変形速度tensor

$ \bm d:=\frac12(\bm l+\bm l^\top)={\cal\pmb S}:\bm l

$ \dot{\bm\varepsilon}={\cal\pmb S}:\bm\nabla\dot{\bm u}={\cal\pmb S}:\bm\nabla\dot{\bm\phi}={\cal\pmb S}:\dot{\bm F}=\left.{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm F)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

もうちょっと展開できないかなこれtakker.icon

$ = {\cal\pmb S}:\left.(\bm d\cdot\bm F)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}+{\cal\pmb S}:\left.(\bm w\cdot\bm F)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

$ \bm w\cdot\bm F+\bm F^\top\cdot\bm w^\top=\bm w\cdot\bm F-\bm F^\top\cdot\bm w

だめか。

微小変形理論にて$ \dot{\bm\phi}\simeq\bm vとしていいなら

$ \dot{\bm\varepsilon}\simeq\bm d

とできる

有限ひずみ

右Cauchy-Green変形tensor$ \bm C

$ \dot{\bm C}=\frac{\partial}{\partial t}\bm F^\top\cdot\bm F

$ =\dot{\bm F}^\top\cdot\bm F+\bm F^\top\cdot\dot{\bm F}

$ =\dot{\bm F}^\top\cdot\bm F+\left(\dot{\bm F}^\top\cdot\bm F\right)^\top

$ =2{\cal\pmb S}:(\dot{\bm F}^\top\cdot\bm F)

$ =2{\cal\pmb S}:(\bm F^\top\cdot\dot{\bm F})

$ = 2{\cal\pmb S}:(\bm F^\top\cdot\dot{\bm F}\cdot\bm{F}^{-1}\cdot\bm F)

$ = 2{\cal\pmb S}:(\bm F^\top\cdot\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F)

$ = 2\bm F^\top\cdot\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F

物質ひずみtensor$ \bm E→物質ひずみ速度tensor$ \dot{\bm{E}}

左Cauchy-Green変形tensor$ \bm b

$ \frac{\partial}{\partial t}\left.\bm b\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\frac{\partial}{\partial t}(\bm F\cdot\bm F^\top)

$ = \dot{\bm F}\cdot{\bm F}^\top+\bm F\cdot{\dot{\bm F}}^\top

$ =2{\cal\pmb S}:( \dot{\bm F}\cdot{\bm F}^\top)

$ =2{\cal\pmb S}:( \dot{\bm F}\cdot{\bm F}^{-1}\cdot\bm F\cdot{\bm F}^\top)

$ = 2{\cal\pmb S}:(\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F\cdot\bm F^\top)

$ = 2{\cal\pmb S}:(\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\left.\bm b\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)})

$ = \left.2{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm b)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

$ \implies\frac{\partial}{\partial t}\left.\bm b\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\left.2{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm b)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

$ \iff\frac{\mathrm D\bm b}{\mathrm D t}=2{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm b)

$ \bm bは空間表示で記述された量なので、物質微分が登場する

空間ひずみtensor$ \bm e

$ \frac{\mathrm D\bm e}{\mathrm D t}=\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\frac12(\bm I-\bm b^{-1})

$ =-\frac12\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\bm b^{-1}

$ =\frac12\bm b^{-1}\cdot\frac{\mathrm D\bm b}{\mathrm Dt}\cdot\bm b^{-1}

$ \because逆tensorの微分

$ =\bm b^{-1}\cdot{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm b)\cdot\bm b^{-1}

$ =\frac12(\bm b^{-1}\cdot\bm l+\bm b^{-1}\cdot\bm b^\top\cdot\bm l^\top\cdot\bm b^{-1})

$ =\frac12(\bm b^{-1}\cdot\bm l+\bm l^\top\cdot\bm b^{-1})

$ \because\bm b^\top=\bm b

$ ={\cal\pmb S}:(\bm b^{-1}\cdot\bm l)

$ \therefore\frac{\mathrm D\bm e}{\mathrm D t}={\cal\pmb S}:(\bm b^{-1}\cdot\bm l)

$ \frac{\mathrm D\bm e}{\mathrm D t}を空間ひずみ速度tensorと呼んでもいいかもしれない

物質ひずみ速度tensor$ \dot{\bm{E}}と空間ひずみtensor$ \bm eとの関係

$ \bm d=\left.({\bm F^\top}^{-1}\cdot\dot{\bm E}\cdot\bm{F}^{-1})\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}

参考：$ \bm e=\left.({\bm F^\top}^{-1}\cdot\bm E\cdot\bm F^{-1})\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}

$ = \left.\left({\bm F^\top}^{-1}\cdot\frac{\partial}{\partial t}\left(\bm F^\top\cdot\left.\bm e\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F\right)\cdot\bm F^{-1}\right)\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}

$ = {\bm f^\top}^{-1}\cdot\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\left(\bm f^\top\cdot\bm e\cdot\bm f\right)\cdot\bm f^{-1}

ここで、$ \bm f:=\bm F(\bm\phi^{-1}(\bm x,t),t)とした

$ {\cal L}_{\bm\phi}:\bm g\mapsto\left.\left({\bm F^\top}^{-1}\cdot\frac{\partial}{\partial t}\left(\bm F^\top\cdot\left.\bm g\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F\right)\cdot\bm F^{-1}\right)\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}をLie時間微分と呼ぶ

土のひずみを連続体力学で記述する

小文字が空間表示、大文字が物質表示という使い分けがされている

連続体の質量保存則

仕事共役

応力

$ \bm\tau:=\left.J\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}\bm\sigma：Kirchhoff応力tensor

小文字なので、パラメタを$ \bm{x}にした

もしかしたら$ \bm{X}に統一したほうがいいかもしれない

$ \bm P:=\left.\bm\sigma\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot J{\bm F^{-1}}^\top：第1Piola-Kirchhoff応力tensor

$ \bm S:=\bm F^{-1}\cdot\left.\bm\sigma\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot J{\bm F^{-1}}^\top：第2Piola-Kirchhoff応力tensor

$ \bm{S}=\bm F^{-1}\cdot\left.\bm\tau\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot{\bm F^{-1}}^\topより

$ \bm{\tau}=\left.\left(\bm{F}\cdot\bm{S}\cdot\bm{F}^\top\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}

が成立する

$ \bm T:={\cal\pmb S}:(\bm S\cdot\bm U)：Biot応力tenosr

応力速度

4. 弾性論概説

1次元の弾塑性モデル

弾性モデル

1次元の棒の単軸引張試験を考える

$ L：引っ張る前の長さ

$ l：引っ張った後の長さ

$ \lambda:=\frac lL：ストレッチ

$ \varepsilon_E:=\frac{l-L}{L}=\lambda-1：工学ひずみ

$ \varepsilon_L:=\int_L^l\frac{\mathrm dl'}{l'}=\ln\lambda：対数ひずみ

単位体積当たりの貯蔵ひずみエネルギ(=ひずみエネルギ密度)$ \Psiを求める

$ \Psi=\frac1V\int_L^lT(l')\mathrm dl'

$ T：長さが$ l'のときにかかる張力

$ V：初期配置での体積

$ \sigma：現配置での単位面積当たりの現配置での力 (Cauchy応力)

$ = \int_L^l\frac Jv\sigma a\mathrm dl'

$ a:現配置での断面積

$ v：現配置での体積

$ = \int_L^lJ\sigma\frac{\mathrm dl'}{l'}

$ \because v=al'

$ = \int_L^l\tau\mathrm d\varepsilon_L

$ \varepsilon_L:=\ln\frac lL：対数ひずみ

$ \tau：初期配置の単位面積当たりの現配置での力 (Kirchhoff応力)

構成則$ \mathrm d\tau=E\mathrm d\varepsilon_L, E=\rm const.を仮定すると

$ \Psi=\int_L^lE\varepsilon_L\mathrm d\varepsilon_L

$ = \frac12E\varepsilon_L^2

$ \because\varepsilon_L(L)=0

以上より$ \tau=\frac{\partial\Psi}{\partial\varepsilon_L}となる

大変形における弾塑性モデル

(大)変形により物質点$ \bm{X}が$ \bm{x}=\bm{\phi}(\bm{X})に移動する

$ \bm{X}の近傍の変形は$ \mathrm d\bm{x}=\bm{F}\cdot\mathrm d\bm{X}で表現される

$ \bm{X}の近傍を局所的に除荷(弾性除荷)し、無応力状態(無負荷状態)とする

除荷したときの近傍を$ \mathrm d\bm{x}_pとする

もし弾性体なら、変形前の状態と剛体回転の違いを除いて変形状態は本質的に変わらない

$ \mathrm d\bm{x}_p=\bm{Q}\cdot\mathrm d\bm{X}

$ \bm{Q}：任意の回転tensor

しかし、非弾性(塑性体)だと永久変形(塑性ひずみ、永久ひずみ)が発生する

$ \mathrm d\bm{x}_p=\bm{F}_p\cdot\mathrm d\bm{X}

永久変形を$ \bm{F}_pとした

塑性変形勾配tensorと呼ぶことにする

塑性変形勾配テンソルの乗算分解による有限変形・異方性回転硬化下負荷面Cam-clayモデルの言い回しを採用したtakker.icon

『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』では「変形勾配の非弾性成分」と読んでいる

$ \mathrm d\bm{x}\mapsto\mathrm d\bm{x}_pへの除荷時は弾性変形と捉えるから、

$ \mathrm d\bm{x}_p={\bm{F}_e}^{-1}\cdot\mathrm d\bm{x}

弾性変形勾配tensor

$ \bm{F}_eは$ \tilde{\bm{x}}の函数とみるようだtakker.icon

$ {\bm{F}_e}^{-1}が除荷時の弾性変形に相当する

とする。

以上より、変形勾配tensor$ \bm{F}を$ \bm{F}_e,\bm{E}_pに乗算分解できる

$ \mathrm d\bm{x}_p={\bm{F}_e}^{-1}\cdot\mathrm d\bm{x}={\bm{F}_e}^{-1}\cdot\bm{F}\cdot\mathrm d\bm{X}

$ \mathrm d\bm{x}_p=\bm{F}_p\cdot\mathrm d\bm{X}

$ \therefore\bm{F}=\bm{F}_e\cdot\bm{F}_p

剛体回転に依存しないひずみ尺度を探索する

右Cauchy-Green変形tensor$ \bm Cの分解

$ \bm{C}_e:=\bm{F}_e^\top\cdot\bm{F}_e：弾性右Cauchy-Green変形tensor

$ \bm{C}_p:=\bm{F}_p^\top\cdot\bm{F}_p：非弾性右Cauchy-Green変形tensor

$ \bm Cと次の関係にある

$ \bm{C}=\bm{F}^\top\cdot\bm{F}

$ =(\bm{F}_e\cdot\bm{F}_p)^\top\cdot\bm{F}_e\cdot\bm{F}_p

$ = {\bm{F}_p}^\top\cdot\bm{C}_e\cdot\bm{F}_p

あー、これsymbolic表示じゃ表せないやつだtakker.icon

左Cauchy-Green変形tensor$ \bm{b}の分解

$ \bm{b}_e:=\bm{F}_e\cdot\bm{F}_e^\top：弾性左Cauchy-Green変形tensor

多分$ \tilde{\bm{x}}の函数だが、何の変数とすべきか明確に説明できるほどまだ理解が追いついていないので、一旦置いておくtakker.icon

$ =\bm{F}\cdot{\bm{F}_p}^{-1}\cdot(\bm{F}\cdot{\bm{F}_p}^{-1})^\top

$ =\bm{F}\cdot{\bm{F}_p}^{-1}\cdot{{\bm{F}_p}^{-1}}^\top\cdot\bm{F}^\top

$ =\bm{F}\cdot({\bm{F}_p}^\top\cdot{\bm{F}_p})^{-1}\cdot\bm{F}^\top

$ =\bm{F}\cdot{\bm{C}_p}^{-1}\cdot\bm{F}^\top

非弾性右Cauchy-Green変形tensor$ \bm{C}_pと弾性左Cauchy-Green変形tensor$ \bm{b}_eが除荷後の剛体回転$ \bm{Q}に依存しないことを示す

$ \mathrm d\bm{X}の変形then除荷は$ \mathrm d\bm{X}\xmapsto{\bm{F}_p}\mathrm d\tilde{\bm{x}}

$ \mathrm d\bm{X}の変形then除荷then剛体回転は$ \mathrm d\bm{X}\xmapsto{\bm{F}_p^*}\mathrm d\tilde{\bm{x}}^*

$ \bm{F}_p^*:=\bm{Q}\cdot\bm{F}_p,\mathrm d\tilde{\bm{x}}^*:=\bm{F}_p^*\cdot\mathrm d\bm{X}とした

$ \bm{F}=\bm{F}_e^*\cdot\bm{F}_p^*となるように、$ \bm{F}_e^*:=\bm{F}_e\cdot{\bm{Q}}^{-1}も定義しておく

$ {\bm{F}_e^*}^{-1}=\bm{Q}\cdot{\bm{F}_e}^{-1}が、剛体回転したあと除荷する操作に相当する

$ \bm{C}_p,\bm{b}_eを剛体回転させた$ \bm{C}_p^*,\bm{b}_e^*を定義する

$ \bm{C}_p^*:={\bm{F}_p^*}^\top\cdot\bm{F}_p^*

$ \bm{b}_e^*:=\bm{F}_e^*\cdot{\bm{F}_e^*}^\top

以下の計算より、$ \bm{C}_p,\bm{b}_eが任意の$ \bm{Q}に対して不変であることがわかる

$ \bm{C}_p^*={\bm{F}_p^*}^\top\cdot\bm{F}_p^*=(\bm{Q}\cdot\bm{F}_p)^\top\cdot\bm{Q}\cdot\bm{F}_p={\bm{F}_p}^\top\cdot\bm{Q}^\top\cdot\bm{Q}\cdot\bm{F}_p={\bm{F}_p}^\top\cdot\bm{F}_p=\bm{C}_p

$ \bm{b}_e^*=\bm{F}_e^*\cdot{\bm{F}_e^*}^\top=\bm{F}_e\cdot{\bm{Q}}^{-1}\cdot(\bm{F}_e\cdot{\bm{Q}}^{-1})^\top=\bm{F}_e\cdot\bm{Q}^{-1}\cdot\bm{Q}\cdot\bm{F}_e=\bm{F}_e\cdot{\bm{F}_e}^\top=\bm{b}_e

一方、$ \bm{F}_e^*,\bm{F}_p^*は定義からも剛体回転に依存することが明白である

弾性右Cauchy-Green変形tensorも剛体回転に依存する

$ \bm{C}_e^*:={\bm{F}_e^*}^\top\cdot\bm{F}_e^*=(\bm{F}_e\cdot\bm{Q}^{-1})^\top\cdot\bm{F}_e\cdot{\bm{Q}}^{-1}=\bm{Q}\cdot{\bm{F}_e}^\top\cdot\bm{F}_e\cdot\bm{Q}^{-1}=\bm{Q}\cdot\bm{C}_e\cdot\bm{Q}^{-1}\neq\bm{C}_e

以上より、除荷後の任意回転で不変な弾性変形量$ \bm{b}_eと非弾性変形量$ \bm{C}_pで構成モデルを構築するのが適切だといえる

以下、弾性potential$ \Psiが存在するとして話を進める

$ \Psiの引数は$ \bm{b}_e,\bm{X}とする

弾性変形で生じるpotentialだけ考える

各種応力の導出

cf. 4. 弾性論概説

$ \bm{S}_e:=2\frac{\partial\Psi}{\partial\bm{C}_e}

$ \dot{\Psi}=\frac12\bm{S}_e:\dot{\bm{C}_e}

$ \bm{\tau}=\left.\left(\bm{F}_e\cdot\bm{S}_e\cdot\bm{F}_e^\top\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}

$ \bm{S}の性質から類推して定義した？

$ \bm{\tau}_e=\bm{\tau}としていいのか？takker.icon

$ \bm{\tau}と$ \bm{b}_eとの関係

等方弾性体を仮定できるなら、$ \bm{\tau}を$ \bm{b}_eの多項式で表現できるので、交換則がなりたつ

$ \bm{\tau}\cdot\bm{b}_e=\bm{b}_e\cdot\bm{\tau}=\bm{\tau}\cdot{\bm{b}_e}^{-1}={\bm{b}_e}^{-1}\cdot\bm{\tau}

それだけでなく、任意の非線型2階tensor函数$ \bm{f}(\bm{b}_e)であれば、Taylor展開とCayley-Hamiltonの定理より$ \bm{b}_e多項式で表現できるため、等方弾性体でなくとも交換則が成り立つはず？takker.icon

そう言い切っていいのか不安

そんなことを言っていいのなら、交換則の適用範囲がかなり広がってしまうぞ

塑性変形勾配テンソルの乗算分解による有限変形・異方性回転硬化下負荷面Cam-clayモデルでは、Mandel応力tensor$ \bm{M}:=\bm{C}_e\cdot\bm{S}_eを定義している

変形速度の記述

$ \frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm Dt}を考える

応力履歴に依存、つまり経路依存のパラメタであり、速度形で構成モデルを記述しなければならない

$ \bm{b}_e=\bm{F}\cdot{\bm{C}_p}^{-1}\cdot\bm{F}^\topより、$ \bm{b}_eを$ \bm{F},\bm{C}_pの函数とみなして微分すると

$ \frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm Dt}=\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}+\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{C}_p}:\dot{\bm{C}_p}

右辺の意味

$ \frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}：非弾性ひずみ速度が0、つまり塑性ひずみが変化しないときの弾性除荷増分

数値計算における試行応力状態にあたる

らしいtakker.icon

$ \frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{C}_p}:\dot{\bm{C}_p}：全体の変形が一定のとき、塑性変形で生じる増分

return mapping法では、この項を使って試行応力を修正する

らしいtakker.icon

$ \bm{b}_eの定義通りに計算するとどうなる？takker.icon

$ \bm{l}による展開

左Cauchy-Green変形tensorの時間導関数は$ \bm{b}と速度勾配tensor$ \bm{l}で

$ \frac{\mathrm D\bm b}{\mathrm D t}=2{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm b)

と表されるから、

$ \frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm D t}=2{\cal\pmb S}:(\bm{l}_e\cdot\bm{b}_e)

$ \bm{l}_e:=\dot{\bm{F}_e}\cdot{{\bm{F}_e}^{-1}}：弾性速度勾配tensor

となる

$ \frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}の計算

$ \frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}=\dot{\bm{F}}\cdot{\bm{C}_p}^{-1}\cdot\bm{F}^\top+\bm{F}\cdot{\bm{C}_p}^{-1}\cdot\dot{\bm{F}}^\top

$ \bm{C}_pを一定とみなして時間微分したものに等しい

$ = \dot{\bm{F}}\cdot{\bm{F}}^{-1}\cdot\bm{b}_e+\bm{b}_e\cdot{\bm{F}^{-1}}^\top\cdot{\dot{\bm{F}}}^\top

$ =\left.\bm{l}\right|_{\bm{x}=\bm{\phi}(\bm{X},t)}\cdot\bm{b}_e+\bm{b}_e\cdot(\left.\bm{l}\right|_{\bm{x}=\bm{\phi}(\bm{X},t)})^\top

$ =\left.\bm{l}\right|_{\bm{x}=\bm{\phi}(\bm{X},t)}\cdot\bm{b}_e+{\bm{b}_e}^\top\cdot(\left.\bm{l}\right|_{\bm{x}=\bm{\phi}(\bm{X},t)})^\top

$ \because左Cauchy-Green変形tensorは対称

$ = 2{\cal\pmb S}:(\left.\bm{l}\right|_{\bm{x}=\bm{\phi}(\bm{X},t)}\cdot\bm{b}_e)

$ \frac{\mathrm D\bm b}{\mathrm D t}と同じ形になった

$ \frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{C}_p}:\dot{\bm{C}_p}の計算

$ \frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{C}_p}:\dot{\bm{C}_p}=\bm{F}\cdot\dot{{\bm{C}_p}^{-1}}\cdot\bm{F}^\top

$ =-\bm{F}\cdot{\bm{C}_p}^{-1}\cdot\dot{\bm{C}_p}\cdot{\bm{C}_p}^{-1}\cdot\bm{F}^\top

cf. 逆tensorの微分

$ =-\bm{b}_e\cdot{\bm{F}^\top}^{-1}\cdot\dot{\bm{C}_p}\cdot\bm{F}^{-1}\cdot\bm{b}_e

$ \because\bm{b}_e=\bm{F}\cdot{\bm{C}_p}^{-1}\cdot\bm{F}^\top

$ =-2\bm{b}_e\cdot{\bm{F}^\top}^{-1}\cdot\bm{F}_p^\top\cdot\bm{d}_p\cdot\bm{F}_p\cdot\bm{F}^{-1}\cdot\bm{b}_e

$ \because\dot{\bm{C}_p}= 2\bm{F}_p^\top\cdot\bm{d}_p\cdot\bm{F}_p(後述)

$ =-2\bm{b}_e\cdot{{\bm{F}_e}^\top}^{-1}\cdot\bm{d}_p\cdot{\bm{F}_e}^{-1}\cdot\bm{b}_e

$ \because\bm{F}=\bm{F}_e\cdot\bm{F}_p

$ =-2\bm{F}_e\cdot\bm{d}_p\cdot{\bm{F}_e}^\top

$ \because\bm{b}_e:=\bm{F}_e\cdot\bm{F}_e^\top

$ \dot{\bm{C}_p}を計算する

$ \dot{\bm{C}_p}= 2{\cal\pmb S}:(\bm{F}_p^\top\cdot\bm{l}_p\cdot\bm{F}_p)

$ \bm{l}_p:=\dot{\bm{F}_p}\cdot{\bm{F}_p}^{-1}：塑性速度勾配tensor

速度勾配tensorと右Cauchy-Green変形tensorとの関係式から類推して定義した

『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』の定義とは違う定義を採用したことに注意takker.icon

$ = 2\bm{F}_p^\top\cdot\bm{d}_p\cdot\bm{F}_p

$ \bm{d}_p:={\cal\pmb S}:\bm{l}_p：塑性変形速度tensor

これは『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』と同じ展開のはず

(ときどき$ \bm\phiの代入は略す)

それぞれの量がどの変数を引数に取っているのかわからなくなってきたので、略してごまかしているtakker.icon

単位体積あたりの内部仕事率$ \dot{w}を考える

$ \dot{w}=\bm{\tau}:\bm{d}=\bm{\tau}:\bm{l}である

てことは$ \dot{w}=\dot{\Psi}なのか？takker.icon

なんで別の記号にしたんだろ

あとの説明を見ると、$ \dot{w_e}=\dot{\Psi}と考えているみたい？

$ \dot{w}を$ \bm{b}_eで表す

$ \dot{w}=\bm{\tau}:\bm{l}

$ =\bm{\tau}:\left(\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}-{\bm{b}_e}^\top\cdot\bm{l}^\top\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)

$ \because\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}=2{\cal\pmb S}:(\left.\bm{l}\right|_{\bm{x}=\bm{\phi}(\bm{X},t)}\cdot\bm{b}_e)

$ =\bm{\tau}:\left(\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)-\mathrm{tr}\left(\bm{\tau}\cdot({\bm{b}_e}^\top\cdot\bm{l}^\top\cdot{\bm{b}_e}^{-1})^\top\right)

$ =\bm{\tau}:\left(\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)-\mathrm{tr}\left(\bm{\tau}\cdot{{\bm{b}_e}^{-1}}^\top\cdot\bm{l}\cdot\bm{b}_e\right)

$ =\bm{\tau}:\left(\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)-\mathrm{tr}\left(\bm{\tau}\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\cdot\bm{l}\cdot\bm{b}_e\right)

$ \because{\bm{b}_e}^\top=\bm{b}_e

$ =\bm{\tau}:\left(\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)-\mathrm{tr}\left({\bm{b}_e}^{-1}\cdot\bm{\tau}\cdot\bm{l}\cdot\bm{b}_e\right)

$ \because\bm{b}_e,\bm{\tau}の交換則の成立を仮定

$ =\bm{\tau}:\left(\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)-\mathrm{tr}\left(\bm{\tau}\cdot\bm{l}\right)

$ =\bm{\tau}:\left(\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)-\bm{\tau}:\bm{l}

$ =\bm{\tau}:\left(\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)

$ \implies\dot{w}=\bm{\tau}:\bm{l}

$ =\frac12\bm{\tau}:\left(\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)

$ \dot{w}を弾性成分$ \dot{w_e}と非弾性成分$ \dot{w_p}に加算分解する

とくに$ \dot{w_p}を塑性散逸率(rate of plastic dissipation)と呼ぶ

$ \dot{w_e}=\bm{\tau}:\bm{l}_e

なぜこれが弾性成分に等しいか証明できないtakker.icon

もちろん意味的にこれが弾性成分に相当するのはわかるけど

$ =\bm{\tau}:(\bm{l}_e\cdot\bm{b}_e\cdot{\bm{b}_e}^{-1})

$ =\bm{\tau}:((({\cal\pmb S}:(\bm{l}_e\cdot\bm{b}_e)+{\cal\pmb W}:(\bm{l}_e\cdot\bm{b}_e))\cdot{\bm{b}_e}^{-1})

$ =\bm{\tau}:\left(\left(\frac12\frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm D t}+{\cal\pmb W}:(\bm{l}_e\cdot\bm{b}_e)\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)

$ =\bm{\tau}:\left(\frac12\frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm D t}\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)+\bm{\tau}:({\cal\pmb W}:((\bm{l}_e\cdot\bm{b}_e))\cdot{\bm{b}_e}^{-1})

$ =\bm{\tau}:\left(\frac12\frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm D t}\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)+\mathrm{tr}(({\cal\pmb W}:((\bm{l}_e\cdot\bm{b}_e))\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\cdot\bm{\tau})

$ =\bm{\tau}:\left(\frac12\frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm D t}\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)+\frac12\mathrm{tr}(\bm{l}_e\cdot\bm{\tau}-\bm{b}_e\cdot{\bm{l}_e}^\top\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\cdot\bm{\tau})

$ =\bm{\tau}:\left(\frac12\frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm D t}\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)+\frac12\mathrm{tr}(\bm{l}_e\cdot\bm{\tau}-\bm{\tau}\cdot{\bm{l}_e}^\top\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\cdot\bm{b}_e)

$ \because交換則

$ =\bm{\tau}:\left(\frac12\frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm D t}\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)+\frac12\mathrm{tr}(\bm{l}_e\cdot\bm{\tau}-\bm{\tau}\cdot{\bm{l}_e}^\top)

$ =\bm{\tau}:\left(\frac12\frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm D t}\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)

整理

$ \dot{w}=\bm{\tau}:\left(\frac12\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)

$ \dot{w_e}=\bm{\tau}:\left(\frac12\frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm D t}\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)

これらと$ \frac{\mathrm D\bm{b}_e}{\mathrm Dt}=\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{F}}:\dot{\bm{F}}+\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{C}_p}:\dot{\bm{C}_p}と$ \dot{w}=\dot{w_e}+\dot{w_p}より、$ \dot{w_p}が求まる

$ \dot{w_p}=\bm{\tau}:\left(-\frac12\left(\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{C}_p}:\dot{\bm{C}_p}\right)\cdot{\bm{b}_e}^{-1}\right)

$ =\bm{\tau}:(\bm{F}_e\cdot\bm{d}_p\cdot{\bm{F}_e}^{-1})

$ \because\frac{\partial\bm{b}_e}{\partial\bm{C}_p}:\dot{\bm{C}_p}=-2\bm{F}_e\cdot\bm{d}_p\cdot{\bm{F}_e}^\top

$ =({\bm{F}_e}^\top\cdot\bm{\tau}\cdot{{\bm{F}_e}^{-1}}^\top):\bm{d}_p

$ =\bm{M}:\bm{d}_p

ここだけ塑性変形勾配テンソルの乗算分解による有限変形・異方性回転硬化下負荷面Cam-clayモデルの展開を使った

$ \bm{d}_pだと$ \bm{\tau}と塑性散逸率について仕事共役になれない

代わりにMandel応力tensor$ \bm{M}を用いる

(別のメモ)$ \bm{l}_pに対応する$ \bm{d}_pを求める

$ \bm{l}_p=\frac12\bm{F}\cdot{\bm{C}_p}^{-1}\cdot\dot{\bm{C}_p}\cdot\bm{F}^{-1}

$ =\frac12\bm{b}_e\cdot{\bm{F}^\top}^{-1}\cdot\dot{\bm{C}_p}\cdot\bm{F}^{-1}

$ \because\bm{b}_e=\bm{F}\cdot{\bm{C}_p}^{-1}\cdot\bm{F}^\top