連続体力学メモ
(2022-09-22)takker.iconが連続体力学の学習でまだやれていないのが、連続体力学に登場するパラメタの時間微分の性質 このページで、言葉の定義を整理しつつ、理解を書き出してみたい
2024-01-05 連続体力学全般のメモを書くページに変えた
まとまったメモから適宜切り出している
大文字の$ \bm{X}が物質点の初期配置とともに、物質点そのものを表す 小文字の$ \bm{x}が物質点の原位置をあらわす 実際にはvectorなので、物質位置ベクトル、空間位置ベクトルと読んだほうがいいのかもしれないが、今度は物質ベクトル、空間ベクトルと混同しそうなのでやめておく
$ \bm x=\bm\phi(\bm X,t)
$ \bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)
逆函数の定義とは食い違う($ tが逆になっていない)が、便宜上逆函数の記号$ ^{-1}を流用する
性質
$ \bm X=\bm\phi(\bm X,0)
基準時刻$ t=0のときの位置なので、基準配置という
$ \bm\phi(\bm\phi^{-1}(\bm x_0,t_0),t_1):時刻$ t_0のとき位置$ \bm x_0にいた物質点が、時刻$ t_1にいた位置
記号の約束
$ \dot{a}:=\frac{\partial a}{\partial t}
物質点$ \bm Xの函数を大文字で、それに対応する空間表示の函数を小文字で表す
大文字をalphabetと区別できないギリシャ文字や、すでに大文字を別の物理量に使っている文字の場合は、$ \tilde\bulletで物質表示への変換を表すことにする
$ \Theta(\bm X,t)=\theta(\bm\phi(\bm X,t),t)
$ \tilde\rho(\bm X,t)=\rho(\bm\phi(\bm X,t),t)
変形の記述
変形tensor
「右」「左」は$ \bm Fの位置を示す
変換式
$ \bm b=\left.({\bm F^\top}^{-1}\cdot\bm C\cdot\bm F^{-1})\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}
変形tensorの物理的な意味
初期配置のノルムと現配置のノルムとの関係を表している
$ \bm Cは初期配置から現配置のノルムを求める変換
$ |\mathrm d\bm\phi|^2=|\bm F\cdot\mathrm d\bm X|^2=\bm C:\mathrm d\bm X\mathrm d\bm X
$ \bm b^{-1}は現配置から初期配置のノルムを求める変換
$ |\mathrm d\bm X|^2= \left.\bm b^{-1}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}:\mathrm d\bm\phi\mathrm d\bm\phi
$ |\mathrm d\bm\phi^{-1}|^2=\bm b^{-1}:\mathrm d\bm x\mathrm d\bm x
導出
$ |\mathrm d\bm X|^2=|\bm F^{-1}\cdot\mathrm d\bm\phi|^2
$ = ({\bm F^{-1}}^\top\cdot\bm F^{-1}):\mathrm d\bm\phi\mathrm d\bm\phi
$ = ({\bm F^\top}^{-1}\cdot\bm F^{-1}):\mathrm d\bm\phi\mathrm d\bm\phi
$ = (\bm F\cdot\bm F^\top)^{-1}:\mathrm d\bm\phi\mathrm d\bm\phi
$ = \left.\bm b^{-1}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}:\mathrm d\bm\phi\mathrm d\bm\phi
$ \bm Eと$ \bm eとの変換式
$ \bm E=\bm F^\top\cdot\left.\bm e\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F
$ \bm e=\left.({\bm F^\top}^{-1}\cdot\bm E\cdot\bm F^{-1})\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}
導出
$ \bm E=\frac12(\bm C-\bm I)
$ = \frac12(\bm F^\top\cdot\bm F-\bm F^\top\cdot{\bm F^\top}^{-1}\cdot\bm F^{-1}\cdot\bm F)
$ = \frac12(\bm F^\top\cdot\bm I\cdot\bm F-\bm F^\top\cdot(\bm F\cdot{\bm F^\top})^{-1}\cdot\bm F)
$ = \bm F^\top\cdot\frac12\left(\bm I-\left.\bm b^{-1}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\right)\cdot\bm F
$ = \bm F^\top\cdot\left.\bm e\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F
$ \det A=1となるtensorのこと
$ \hat\bm A:=(\det A)^{-\frac1{{\rm tr}\bm I}}\bm A\llbracket\det\bm A\ne0\rrbracket
$ |\bm A|=\det\bm A=1だから、単位vectorにおける定義とも整合する
無次元になる点も共通する
$ \hat\bm F=J^{-\frac13}\bm F (3次元の場合)
速度
紛らわしさを避けるため、独自に用語を定義する
$ \dot{\bm{\phi}}=\frac{\partial \bm{\phi}}{\partial t}
$ \bm{v}:=\dot{\bm{\phi}}(\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t),t)
空間速度と呼ぶほうがしっくりくるかも?
流体力学に限定されないので、輸送速度という言葉を使ったほうがいいかもしれない 2024-04-03 13:20:53 輸送の性質は表示で変化しないので、この名前を空間表示と結びつけるのは不適
2024-04-03 13:21:25 空間速度を好んで使うようになっている 流体に限定されない言い方だからかな
ちょうど$ \bm xを空間位置と呼ぶことにすると、この命名法と整合性がとれるのでますます気に入ったtakker.icon $ \bm{f}\circ\bm{f}^{-1}(\bm{x})=\bm{x}
$ \implies \bm{I}=\bm{\nabla}(\bm{f}\circ\bm{f}^{-1}(\bm{x}))=\left.\bm{\nabla}\bm{f}(\bm{y})\right|_{\bm{y}=\bm{f}^{-1}(\bm{x})}\bm{\nabla}\bm{f}^{-1}(\bm{x})
$ \implies \bm{\nabla}\bm{f}^{-1}=\left(\left.\bm{\nabla}\bm{f}(\bm{x})\right|_{\bm{x}=\bm{f}^{-1}}\right)^{-1}
時間微分
物質点を固定した時の時間微分量
演算子は$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}が用いられる
物質表示された量の場合は、単に時間で偏微分しただけ
$ \frac{\mathrm{D}\dot{\bm{\phi}}}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial\dot{\bm{\phi}}}{\partial t}=\frac{\partial^2\bm{\phi}}{{\partial t}^2}
空間表示された量の場合は、一旦物質表示に変えた量を時間で偏微分してから、空間表示に戻す
$ \frac{\mathrm{D}\psi(\bm{x},t)}{\mathrm{D}t}=\left.\left(\frac{\partial\psi(\bm{\phi}(\bm{X},t),t)}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\dot\psi+\bm v\cdot\bm\nabla\psi
性質
$ \frac{\mathrm D\bm x}{\mathrm Dt}=\bm v
$ \because\frac{\mathrm{D}\bm x}{\mathrm{D}t}=\left.\left(\frac{\partial\bm\phi(\bm X,t)}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\dot\bm\phi(\bm\phi^{-1}(\bm x,t))=\bm v
もしくは$ \frac{\mathrm{D}\bm x}{\mathrm{D}t}=\dot\bm x+\bm v\cdot\bm\nabla\bm x=\bm0+\bm v=\bm v
$ \frac{\mathrm D\bm\phi^{-1}}{\mathrm Dt}=\bm 0
$ \because\frac{\mathrm{D}\bm\phi^{-1}}{\mathrm{D}t}=\left.\left(\frac{\partial\bm\phi^{-1}(\bm{\phi}(\bm{X},t),t)}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\left.\left(\frac{\partial\bm X}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\bm 0
$ \bm d:=\frac12(\bm l+\bm l^\top)={\cal\pmb S}:\bm l
$ \bm w:=\frac12(\bm l-\bm l^\top)={\cal\pmb W}:\bm l
極分解$ \bm F=\bm R\cdot\bm Uを使った書き換え $ \bm w={\cal\pmb W}:\left.((\dot\bm R\cdot\bm U+\bm R\cdot\dot\bm U)\cdot(\bm R\cdot\bm U)^{-1})\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}
$ ={\cal\pmb W}:\left.((\dot\bm R\cdot\bm U+\bm R\cdot\dot\bm U)\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^{-1})\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}
$ ={\cal\pmb W}:\left.((\dot\bm R\cdot\bm U+\bm R\cdot\dot\bm U)\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^{-1})\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}
$ ={\cal\pmb W}:\left.(\dot\bm R\cdot\bm R^{-1}+\bm R\cdot\dot\bm U\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^{-1})\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}
$ ={\cal\pmb W}:\left.(\dot\bm R\cdot\bm R^\top+\bm R\cdot\dot\bm U\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^\top)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}
$ =\left.(\dot\bm R\cdot\bm R^\top+{\cal\pmb W}:(\bm R\cdot\dot\bm U\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^\top))\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}
剛体運動($ \bm U=\bm 0)のとき$ \bm w=\dot\bm R\cdot\bm R^\topになる
また$ \bm Uの主軸が時間変化しないとき$ (\dot\bm U\cdot\bm U^{-1})^\top=\dot\bm U\cdot\bm U^{-1}なので、このときも$ \bm w=\dot\bm R\cdot\bm R^\topになる
$ \bm\Omega={\Large\bm\epsilon}:\bm w={\Large\bm\epsilon}:\bm l
$ {\Large\bm\epsilon}:{\cal\pmb W}={\Large\bm\epsilon}なのでどちらを使ってもいい
$ \bm w={\Large\bm\epsilon}\cdot\bm\Omega
$ \dot{\bm\varepsilon}={\cal\pmb S}:\bm\nabla\dot{\bm u}={\cal\pmb S}:\bm\nabla\dot{\bm\phi}={\cal\pmb S}:\dot{\bm F}=\left.{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm F)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
もうちょっと展開できないかなこれtakker.icon
$ = {\cal\pmb S}:\left.(\bm d\cdot\bm F)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}+{\cal\pmb S}:\left.(\bm w\cdot\bm F)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
$ \bm w\cdot\bm F+\bm F^\top\cdot\bm w^\top=\bm w\cdot\bm F-\bm F^\top\cdot\bm w
だめか。
微小変形理論にて$ \dot\bm\phi\simeq\bm vとしていいなら $ \dot\bm\varepsilon\simeq\bm d
とできる
有限ひずみ
$ \dot{\bm C}=\frac{\partial}{\partial t}\bm F^\top\cdot\bm F
$ =\dot{\bm F}^\top\cdot\bm F+\bm F^\top\cdot\dot{\bm F}
$ =\dot{\bm F}^\top\cdot\bm F+\left(\dot{\bm F}^\top\cdot\bm F\right)^\top
$ =2{\cal\pmb S}:(\dot{\bm F}^\top\cdot\bm F)
$ =2{\cal\pmb S}:(\bm F^\top\cdot\dot{\bm F})
$ = 2{\cal\pmb S}:(\bm F^\top\cdot\dot{\bm F}\cdot\bm{F}^{-1}\cdot\bm F)
$ = 2{\cal\pmb S}:(\bm F^\top\cdot\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F)
$ = 2\bm F^\top\cdot\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F
$ \bm E=\frac12(\bm F^\top\cdot\bm F-\bm I)=\frac12(\bm C-\bm I)
$ \dot{\bm E}=\frac12\dot{\bm C}=\bm F^\top\cdot\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F
対称tensorである
$ \dot\bm E^\top=\dot\bm E
$ \frac{\partial}{\partial t}\left.\bm b\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\frac{\partial}{\partial t}(\bm F\cdot\bm F^\top)
$ = \dot{\bm F}\cdot{\bm F}^\top+\bm F\cdot{\dot\bm F}^\top
$ =2{\cal\pmb S}:( \dot{\bm F}\cdot{\bm F}^\top)
$ =2{\cal\pmb S}:( \dot{\bm F}\cdot{\bm F}^{-1}\cdot\bm F\cdot{\bm F}^\top)
$ = 2{\cal\pmb S}:(\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F\cdot\bm F^\top)
$ = 2{\cal\pmb S}:(\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\left.\bm b\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)})
$ = \left.2{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm b)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
$ \implies\frac{\partial}{\partial t}\left.\bm b\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\left.2{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm b)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
$ \iff\frac{\mathrm D\bm b}{\mathrm D t}=2{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm b)
$ \bm bは空間表示で記述された量なので、物質微分が登場する $ \frac{\mathrm D\bm e}{\mathrm D t}=\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\frac12(\bm I-\bm b^{-1})
$ =-\frac12\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\bm b^{-1}
$ =\frac12\bm b^{-1}\cdot\frac{\mathrm D\bm b}{\mathrm Dt}\cdot\bm b^{-1}
$ =\bm b^{-1}\cdot{\cal\pmb S}:(\bm l\cdot\bm b)\cdot\bm b^{-1}
$ =\frac12(\bm b^{-1}\cdot\bm l+\bm b^{-1}\cdot\bm b^\top\cdot\bm l^\top\cdot\bm b^{-1})
$ =\frac12(\bm b^{-1}\cdot\bm l+\bm l^\top\cdot\bm b^{-1})
$ \because\bm b^\top=\bm b
$ ={\cal\pmb S}:(\bm b^{-1}\cdot\bm l)
$ \therefore\frac{\mathrm D\bm e}{\mathrm D t}={\cal\pmb S}:(\bm b^{-1}\cdot\bm l)
$ \bm d=\left.({\bm F^\top}^{-1}\cdot\dot\bm E\cdot\bm F^{-1})\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}
参考:$ \bm e=\left.({\bm F^\top}^{-1}\cdot\bm E\cdot\bm F^{-1})\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}
$ = \left.\left({\bm F^\top}^{-1}\cdot\frac{\partial}{\partial t}\left(\bm F^\top\cdot\left.\bm e\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F\right)\cdot\bm F^{-1}\right)\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}
$ = {\bm f^\top}^{-1}\cdot\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\left(\bm f^\top\cdot\bm e\cdot\bm f\right)\cdot\bm f^{-1}
ここで、$ \bm f:=\bm F(\bm\phi^{-1}(\bm x,t),t)とした
$ {\cal L}_{\bm\phi}:\bm g\mapsto\left.\left({\bm F^\top}^{-1}\cdot\frac{\partial}{\partial t}\left(\bm F^\top\cdot\left.\bm g\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F\right)\cdot\bm F^{-1}\right)\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}をLie時間微分と呼ぶ 小文字が空間表示、大文字が物質表示という使い分けがされている
応力
$ \bm t|\mathrm d\bm a|=\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a
$ \left.\bm t|\mathrm d\bm a|\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\bm P\cdot\mathrm d\bm A
非対称tensorであることに注意
$ \bm S^\top=\bm S
$ \mathrm d\bm p=\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm aのとき、$ \mathrm d\bm P=
1次元の弾塑性モデル
弾性モデル
1次元の棒の単軸引張試験を考える
$ L:引っ張る前の長さ
$ l:引っ張った後の長さ
$ \lambda:=\frac lL:ストレッチ
$ \varepsilon_E:=\frac{l-L}{L}=\lambda-1:工学ひずみ $ \varepsilon_L:=\int_L^l\frac{\mathrm dl'}{l'}=\ln\lambda:対数ひずみ $ \Psi=\frac1V\int_L^lT(l')\mathrm dl'
$ T:長さが$ l'のときにかかる張力
$ V:初期配置での体積
$ \sigma:現配置での単位面積当たりの現配置での力 (Cauchy応力)
$ = \int_L^l\frac Jv\sigma a\mathrm dl'
$ a:現配置での断面積
$ v:現配置での体積
$ = \int_L^lJ\sigma\frac{\mathrm dl'}{l'}
$ \because v=al'
$ = \int_L^l\tau\mathrm d\varepsilon_L
$ \varepsilon_L:=\ln\frac lL:対数ひずみ $ \tau:初期配置の単位面積当たりの現配置での力 (Kirchhoff応力)
構成則$ \mathrm d\tau=E\mathrm d\varepsilon_L, E=\rm const.を仮定すると
$ \Psi=\int_L^lE\varepsilon_L\mathrm d\varepsilon_L
$ = \frac12E\varepsilon_L^2
$ \because\varepsilon_L(L)=0
以上より$ \tau=\frac{\partial\Psi}{\partial\varepsilon_L}となる