連続体の質量保存則
いろんな表記がある。以下にそれらを整理する
時間微分しない形式
物質表示：$ \rho_0=\tilde\rho J $ \rho_0:=\tilde\rho(\bm X,0)：初期配置における密度
$ \underbrace{\underbrace{\tilde\rho}_{密度}\cdot\underbrace{J}_{体積}}_{時刻t}={\rm const.}=\underbrace{\underbrace{\rho_0}_{密度}\cdot\underbrace1_{体積}}_{時刻0}ということtakker.icon
微分形式
物質表示：$ \frac{\partial}{\partial t}(\tilde\rho J)=0 空間表示：$ \frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\left(\rho\left.J\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}\right)=0 $ \rho：空間表示した密度
$ \tilde\rho(\bm X,t)=\rho(\bm\phi(\bm X,t),t)
物質表示：$ \dot{\tilde\rho}+\tilde\rho\left.\bm\nabla\cdot\bm v\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=0 空間表示：$ \frac{\mathrm D\rho}{\mathrm Dt}+\rho\bm\nabla\cdot\bm v=0 $ \dot{\bm\phi}(\bm X,t)=\bm v(\bm\phi(\bm X,t),t)
変形すると、第1項が微小要素内の質量生成、第2項が微小要素への質量流束密度$ \rho\bm vの流入になる $ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\bm\nabla\cdot(\rho\bm v)=0
導出
$ \tilde\rho J=\rho_0
$ \implies\frac{\partial}{\partial t}(\tilde\rho J)=0
$ \iff\dot{\tilde\rho}J+\tilde\rho\dot J=0
$ \iff\dot{\tilde\rho}+\tilde\rho\left.\bm\nabla\cdot\bm v\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=0
積分形式
現配置で連続体が占める領域を$ B_t、初期配置でのそれを$ B_0とする
物質表示：$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B_0}\tilde\rho J\mathrm dV=0 $ \mathrm dV：初期配置での体積要素
空間表示：$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B_t}\rho\mathrm dv=0 $ \mathrm dv：現配置での体積要素
物質表示：$ \int_{B_0}\left(\dot{\tilde\rho}+\tilde\rho\left.\bm\nabla\cdot\bm v\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\right)J\mathrm dV=0 空間表示：$ \int_{B_t}\left(\frac{\mathrm D\rho}{\mathrm Dt}+\rho\bm\nabla\cdot\bm v\right)\mathrm d v=0 変形すると、第1項が領域内の質量生成、第2項が領域から流出する質量流束密度$ \rho\bm vになる $ \underbrace{\int_{B_t}\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm dv}_\text{領域内の質量生成}+\underbrace{\int_{\partial B_t}\rho\bm v\cdot\mathrm d\bm a}_\text{領域からの流出量}=0
$ \mathrm d\bm a：現配置での面積要素
同じ法則を流体力学と他の力学分野とで別々の呼び名にするのは混乱を招く
$ \frac{\partial\phi}{\partial t}+\pmb\nabla\cdot(\phi\pmb v)=s
#2024-01-02 17:58:58 全面的に書き直し、Euler|Lagrange & 物質|空間 & 微分|積分 で場合分けして式形を書いた