Reynoldsの輸送定理
空間表示した函数$ \bm\theta(\bm x,t)の体積分の時間変化に関する変換則 $ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\bm\theta(\bm x,t)\mathrm dv=\int_{B(t)}\left(\frac{\mathrm D\bm\theta}{\mathrm Dt}+\bm \theta\bm\nabla\cdot\bm v\right)\mathrm dv
解釈
$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\pmb\theta(\pmb x,t)\mathrm dv=\int_{B(t)}\left(\frac{\mathrm D\pmb\theta}{\mathrm Dt}+\pmb \theta\pmb\nabla\cdot\pmb v\right)\mathrm dv
$ =\int_{B(t)}\left(\frac{\partial\pmb\theta}{\partial t}+\pmb v\cdot\pmb\nabla\pmb\theta+\pmb \theta\pmb\nabla\cdot\pmb v\right)\mathrm dv
$ =\int_{B(t)}\left(\frac{\partial\pmb\theta}{\partial t}+\pmb\nabla\cdot(\pmb v\pmb\theta)\right)\mathrm dv
$ =\underbrace{\int_{B(t)}\frac{\partial\pmb\theta}{\partial t}\mathrm dv}_{領域内の時間変化}+\underbrace{\int_{\partial B(t)}\pmb\theta\pmb v\cdot\mathrm d\pmb s}_{領域外からの流入}
運動する連続体$ B(t)上の量$ \pmb\thetaの体積分の時間変化は、
時刻$ tにおける領域内の$ \pmb\thetaの時間変化の合計
領域内に流入してくる$ \pmb\thetaの流束 の和に等しい
別の言い方をすると、「時刻tにおけるB(t)内の物理量に、dt間の領域内の生成分と流入分を加えると、t+dtにおける領域の変形も加味した物理量になる」
$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\pmb\theta(\pmb x,t)\mathrm dvは物質微分を用いて$ \frac{\mathrm D}{\mathrm D t}\int_{B(t)}\pmb\theta(\pmb x,t)\mathrm dvと書かれることがほとんどだが、ここでは時間の偏微分$ \frac{\partial}{\partial t}を用いる $ \int_{B(t)}\pmb\theta(\pmb x,t)\mathrm dvは空間位置$ \pmb xでの体積分しているので、$ \pmb xは束縛変数扱いになる
そのため、$ \int_{B(t)}\pmb\theta(\pmb x,t)\mathrm dvは$ tのみの函数となる
導出
ある時刻$ tにおける連続体の現位置の領域を$ B(t)とする $ B(t)=\{\pmb x\in\R^3|\exist\pmb X\in B_0;\pmb x=\pmb\phi(\pmb X,t)\}という関係が成り立つ
ある空間表示された物質量$ \pmb\theta(\pmb x,t)を、$ B(t)で体積分した量は$ \int_{B(t)}\pmb\theta(\pmb x,t)\mathrm dvである
$ \mathrm dv(\pmb x,t)：微小体素の体積の空間表示
これの時間変化率$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\pmb\theta(\pmb x,t)\mathrm dvを考えたい
このままだと、積分範囲$ B(t)が$ tに依存しているので、$ \frac{\partial}{\partial t}を積分の中に入れられない
そこで、$ \pmb xを$ \pmb Xに置換積分する
$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\pmb\theta(\pmb x,t)\mathrm dv
$ = \frac{\partial}{\partial t}\int_{\pmb\phi(\pmb X,t)\in B(t)}\pmb\theta(\pmb\phi(\pmb X,t)\,t)(\det\pmb\nabla\pmb\phi)\mathrm dV
$ \underbrace{\mathrm dv(\pmb\phi(\pmb X,t),t)}_{時刻tでの微小体素の体積}=\det\pmb\nabla\pmb\phi(\pmb X,t)\underbrace{\mathrm dV(\pmb X)}_{初期時刻における微小体素の体積}
2024-04-04今なら$ \underbrace{\left.\mathrm dv\right|_{\bm x=\bm\phi(X,t)}}_{現配置の体積要素}=J\underbrace{\mathrm dV}_{基準配置の体積要素}と説明するかなtakker.icon
$ \mathrm dv(\bm X,0)=\mathrm dV(\bm X)という関係にある
$ = \frac{\partial}{\partial t}\int_{\pmb X\in B_0}\pmb\theta(\pmb\phi(\pmb X,t)\,t)J\mathrm dV
$ J:=\det\pmb\nabla\pmb\phi
$ = \int_{\pmb X\in B_0}\frac{\partial}{\partial t}(\pmb\theta(\pmb\phi(\pmb X,t)\,t)J)\mathrm dV
$ = \int_{\pmb X\in B_0}\left(\left.\frac{\mathrm D\pmb\theta}{\mathrm D t}\right|_{\pmb x=\pmb\phi(\pmb X,t)}J+\pmb\theta(\pmb\phi(\pmb X,t)\,t)\frac{\partial J}{\partial t}\right)\mathrm dV
$ = \int_{\pmb X\in B_0}\left(\left.\frac{\mathrm D\pmb\theta}{\mathrm D t}\right|_{\pmb x=\pmb\phi(\pmb X,t)}+\pmb\theta(\pmb\phi(\pmb X,t)\,t)\left.\pmb\nabla\cdot\pmb v\right|_{\pmb x=\pmb\phi(\pmb X,t)}\right)J\mathrm dV
体積変化率の時間導函数$ \frac{\partial J}{\partial t}=J\left.\pmb\nabla\cdot\pmb v\right|_{\pmb x=\pmb\phi(\pmb X,t)}を使った Jacobianの時間変化が、領域内への流入を担っているみたい？
$ = \int_{\pmb\phi(\pmb X,t)\in B(t)}\left.\left(\frac{\mathrm D\pmb\theta}{\mathrm D t}+\pmb\theta\pmb\nabla\cdot\pmb v\right)\right|_{\pmb x=\pmb\phi(\pmb X,t)}\mathrm dv(\pmb\phi(\pmb X,t)\,t)
置換積分して、空間表示に直した
$ \underline{= \int_{B(t)}\left(\frac{\mathrm D\pmb\theta}{\mathrm D t}+\pmb\theta\pmb\nabla\cdot\pmb v\right)\mathrm dv\quad}_\blacksquare
$ \pmb\theta=\rho\pmb\psiのときに成り立つ式
$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\rho\pmb\psi\mathrm dv=\int_{B(t)}\left(\frac{\mathrm D\rho\pmb\psi}{\mathrm Dt}+\rho\pmb\psi\pmb\nabla\cdot\pmb v\right)\mathrm dv
$ =\int_{B(t)}\left(\rho\frac{\mathrm D\pmb\psi}{\mathrm Dt}+\pmb\psi\frac{\mathrm D\rho}{\mathrm Dt}+\rho\pmb\psi\pmb\nabla\cdot\pmb v\right)\mathrm dv
$ =\int_{B(t)}\left(\rho\frac{\mathrm D\pmb\psi}{\mathrm Dt}+\pmb\psi\left(\frac{\mathrm D\rho}{\mathrm Dt}+\rho\pmb\nabla\cdot\pmb v\right)\right)\mathrm dv
$ =\int_{B(t)}\left(\rho\frac{\mathrm D\pmb\psi}{\mathrm Dt}+\pmb0\right)\mathrm dv
$ \underline{\therefore\frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\rho\pmb\psi\mathrm dv=\int_{B(t)}\rho\frac{\mathrm D\pmb\psi}{\mathrm Dt}\mathrm dv\quad}_\blacksquare
一般に、体積変化に不変($ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\xi\mathrm dv=0)な量$ \xiについて
$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\xi\bm\psi\mathrm dv=\int_{B(t)}\xi\frac{\mathrm D\bm\psi}{\mathrm Dt}\mathrm dv
が成り立つ
$ \because\left(\forall B.\frac{\partial}{\partial t}\int_{B(t)}\xi\mathrm dv=0\right)\implies\frac{\mathrm D\xi}{\mathrm Dt}+\xi\bm\nabla\cdot\bm v=0