完全流体の運動方程式の導出

完全流体の仮定で、以下の運動方程式が成立することを示す

完全流体の運動方程式

$ \rho \frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D}t}=\pmb{F}-\pmb{\nabla}P

$ \rho：流体の密度

$ \pmb{u}：流速

$ \pmb{F}：単位体積あたりの外力

$ P：圧力

Euler的定式化

力の項$ +\pmb{F}-\pmb{\nabla}Pの証明は略

運動量変化の項$ \rho \frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D}t}の導出だけ2通り示す

両方とも$ \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}=0を一切用いていないので、圧縮性流れでも成立する

解法1：微小領域の運動量変化を考える

$ x,y,z方向の単位ベクトルを$ \pmb{e}_x,\pmb{e}_y,\pmb{e}_zとし、$ \pmb{u}:=u_x\pmb{e}_x+u_y\pmb{e}_y+u_z\pmb{e}_zとする

微小直方体領域$ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=:\mathrm{d}Vの運動量変化を調べる

領域内の運動量変化は$ \frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V

境界からの流出は

x軸に直交する面$ \mathrm{d}y\mathrm{d}zからの流出

$ \underbrace{\rho(x+\mathrm{d}x,y,z)u_x(x+\mathrm{d}x,y,z)\mathrm{d}t\mathrm{d}y\mathrm{d}z}_{流出した質量}\cdot\pmb{u}(x+\mathrm{d}x,y,z)-\underbrace{\rho(x,y,z)u_x(x,y,z)\mathrm{d}t\mathrm{d}y\mathrm{d}z}_{流入した質量}\cdot\pmb{u}(x,y,z)

$ =\frac{\partial \rho\pmb{u}u_x}{\partial x}\mathrm{d}t\mathrm{d}V

https://kakeru.app/1f0ced8002e43c61cf46b008435e157d https://i.kakeru.app/1f0ced8002e43c61cf46b008435e157d.svg

y軸に直交する面$ \mathrm{d}z\mathrm{d}xからの流出

$ \rho(x,y+\mathrm{d}y,z)u_y(x,y+\mathrm{d}y,z)\mathrm{d}t\mathrm{d}z\mathrm{d}x\cdot\pmb{u}(x,y+\mathrm{d}y,z)-\rho(x,y,z)u_y(x,y,z)\mathrm{d}t\mathrm{d}z\mathrm{d}x\cdot\pmb{u}(x,y,z)

$ =\frac{\partial \rho\pmb{u}u_y}{\partial y}\mathrm{d}t\mathrm{d}V

z軸に直交する面$ \mathrm{d}x\mathrm{d}yからの流出

$ \rho(x,y,z+\mathrm{d}z)u_x(x,y,z+\mathrm{d}z)\mathrm{d}t\mathrm{d}x\mathrm{d}y\cdot\pmb{u}(x,y,z+\mathrm{d}z)-\rho(x,y,z)\mathrm{d}t\mathrm{d}x\mathrm{d}y\cdot\pmb{u}(x,y,z)

$ =\frac{\partial \rho\pmb{u}u_z}{\partial z}\mathrm{d}t\mathrm{d}V

全部足すと$ \frac{\partial \rho\pmb{u}u_x}{\partial x}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\frac{\partial \rho\pmb{u}u_y}{\partial y}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\frac{\partial \rho\pmb{u}u_z}{\partial z}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}Vになる

力積が0のとき、領域内の運動量増加-境界からの流出量=0という関係が成り立つ

これを変形する

$ \frac{\partial \rho\pmb{u}u_x}{\partial x}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\frac{\partial \rho\pmb{u}u_y}{\partial y}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\frac{\partial \rho\pmb{u}u_z}{\partial z}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V

$ \begin{aligned}=&\rho u_x\frac{\partial \pmb{u}}{\partial x}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\pmb{u}\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}\mathrm{d}t\mathrm{d}V\\&+\rho u_y\frac{\partial \pmb{u}}{\partial y}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\pmb{u}\frac{\partial \rho u_y}{\partial y}\mathrm{d}t\mathrm{d}V\\&+\rho u_z\frac{\partial \pmb{u}}{\partial z}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\pmb{u}\frac{\partial \rho u_z}{\partial z}\mathrm{d}t\mathrm{d}V\\&+\rho\frac{\partial\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\pmb{u}\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V\end{aligned}

積の微分で展開した

$ =\rho(\pmb{u}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{u}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\pmb{u}\pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\rho\frac{\partial\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\pmb{u}\frac{\partial\rho}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V

ナブラでまとめた

$ =\rho\left((\pmb{u}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{u}+\frac{\partial\pmb{u}}{\partial t}\right)\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\pmb{u}\left(\pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})+\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)\mathrm{d}t\mathrm{d}V

$ =\rho\left((\pmb{u}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{u}+\frac{\partial\pmb{u}}{\partial t}\right)\mathrm{d}t\mathrm{d}V+0

連続の式$ \pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0を代入した

$ =\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D}t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V\tag{1}

$ \mathrm{d}Vに微小時間$ \mathrm{d}tに働く力は$ +\pmb{F}\mathrm{d}t\mathrm{d}V-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}t\mathrm{d}Vだから、運動量保存則より

$ \underbrace{\frac{\partial \rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V}_{領域内の運動量変化}=\underbrace{\pmb{F}\mathrm{d}t\mathrm{d}V-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}t\mathrm{d}V}_{力積}\underbrace{-\frac{\partial \rho\pmb{u}u_x}{\partial x}\mathrm{d}t\mathrm{d}V-\frac{\partial \rho\pmb{u}u_y}{\partial y}\mathrm{d}t\mathrm{d}V-\frac{\partial \rho\pmb{u}u_z}{\partial z}\mathrm{d}t\mathrm{d}V}_{境界から流入する運動量}

が成り立つ。

これを変形して(1)を適用すれば運動方程式が求まる

$ \iff\frac{\partial \rho\pmb{u}u_x}{\partial x}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\frac{\partial \rho\pmb{u}u_y}{\partial y}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\frac{\partial \rho\pmb{u}u_z}{\partial z}\mathrm{d}t\mathrm{d}V+\frac{\partial \rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V=\pmb{F}\mathrm{d}t\mathrm{d}V-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}t\mathrm{d}V

$ \iff\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D}t}\mathrm{d}t\mathrm{d}V=\pmb{F}\mathrm{d}t\mathrm{d}V-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}t\mathrm{d}V

$ \because(1)

$ \underline{\iff\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}=\pmb{F}-\pmb{\nabla}P\quad}_\blacksquare

解法2：任意の領域内の運動量変化を考える

解法1を積分形で求めているだけなので、導出過程はほぼ同じである

任意の領域$ Vでの運動量変化は$ \int_{\partial V}\rho\pmb{u}(\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S})+\int_V\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}Vになる

第1項：$ Vの境界$ \partial Vから単位時間あたりに流出する運動量

$ \mathrm{d}\pmb{S}は$ \partial V上の微小面積ベクトル

大きさが面積、向きが外向き法線ベクトルを示す

これは運動量の時間変化ではないtakker.icon

あとで書き換えよう

第2項：$ V内の運動量の時間変化率

これを変形する

$ \int_{\partial V}\rho\pmb{u}(\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S})+\int_V\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}V

$ =\int_{\partial V}\rho(\pmb{u}\otimes\pmb{u})\mathrm{d}\pmb{S}+\int_V\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}V

$ =\int_V\mathrm{div}(\rho(\pmb{u}\otimes\pmb{u}))\mathrm{d}V+\int_V\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}V

$ \becauseGaussの発散定理 (tensor版)$ \int_{\partial V}\pmb{T}\mathrm{d}\pmb{S}=\int_V\mathrm{div}(\pmb{T})\mathrm{d}V

$ =\int_V\left(\mathrm{div}(\rho(\pmb{u}\otimes\pmb{u}))+\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V

$ =\int_V\left((\pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u}))\pmb{u}+(\rho\pmb{u}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{u}+\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V

$ \because\mathrm{div}(\pmb{a}\otimes\pmb{b})=(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{a})\pmb{b}+(\pmb{a}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{b}

$ =\int_V\left(\rho(\pmb{u}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{u}+\left(\pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})+\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)\pmb{u}+\rho\frac{\partial\pmb{u}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V

$ =\int_V\rho\left((\pmb{u}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{u}+0+\frac{\partial\pmb{u}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V

$ \because連続の式 (流体)より$ \pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0

$ =\int_V\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}\mathrm{d}V\tag{2}

$ Vにかかる力は$ \int_V\pmb{F}\mathrm{d}V-\int_V\pmb{\nabla}P\mathrm{d}Vだから、運動方程式は

$ \underbrace{\int_V\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}V}_{領域内の運動量変化}=\underbrace{\int_V\pmb{F}\mathrm{d}V-\int_V\pmb{\nabla}P\mathrm{d}V}_{力積}\underbrace{-\int_{\partial V}\rho\pmb{u}(\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S})}_{境界内に流入する運動量}

$ \iff\int_{\partial V}\rho\pmb{u}(\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S})+\int_V\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}V=\int_V\pmb{F}\mathrm{d}V-\int_V\pmb{\nabla}P\mathrm{d}V

$ \iff\int_V\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}\mathrm{d}V=\int_V\pmb{F}\mathrm{d}V-\int_V\pmb{\nabla}P\mathrm{d}V

$ \because (2)

$ \underline{\therefore\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}=\pmb{F}-\pmb{\nabla}P\quad}_\blacksquare

参考文献

同様の導出を行っている文献を示す

『明解水理学』補遺6

解法2と同様の式展開を行っている

流体の運動方程式 - EMANの流体力学

Euler的定式化による運動量変化の立式

ナヴィエ・ストークスの方程式 - EMANの流体力学

連続の式で密度変化の項を消して$ \rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}を求める

Lagrange的定式化

流体粒子についての運動方程式を立式する

流体粒子の微小体積を$ \mathrm{d}Vとすると、運動方程式は次のようになる

$ \frac{\mathrm{D}\rho\pmb{u}\mathrm{d}V}{\mathrm{D}t}=\pmb{F}\mathrm{d}V-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}V\tag{3}

ここで、$ \mathrm{d}VはEuler的定式化のときとは違い、空間上の固定された領域ではなく流体粒子の微小体積であるので、流体粒子の位置及び時刻に依存する

力の項$ +\pmb{F}-\pmb{\nabla}Pの証明は略

力は時刻$ tに加わる力のみを考えればいいので、時刻$ tでの微小体積$ \mathrm{d}Vを単純にかけるだけでいい

時刻$ tにおける運動量$ +時刻$ tに働く力$ \times\mathrm{d}t$ =時刻$ t+\mathrm{d}tにおける運動量

流体粒子に質量保存則を適用すると、以下の式を得る

$ \frac{\mathrm{D}\rho\mathrm{d}V}{\mathrm{D}t}=0\tag{4}

流体粒子が破砕したり化学反応を起こしたりしないなら、体積が変わっても質量は一定になる

(3)を変形して(4)を代入すれば、完全流体の運動方程式を得る

$ \frac{\mathrm{D}\rho\pmb{u}\mathrm{d}V}{\mathrm{D}t}=\pmb{F}\mathrm{d}V-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}V

$ \iff\rho\mathrm{d}V\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D}t}+\pmb{u}\frac{\mathrm{D}\rho\mathrm{d}V}{\mathrm{D}t}=\pmb{F}\mathrm{d}V-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}V

$ \iff\rho\mathrm{d}V\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D}t}=\pmb{F}\mathrm{d}V-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}V

$ \because (4)

$ \underline{\iff\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D}t}=\pmb{F}-\pmb{\nabla}P\quad}_\blacksquare

$ \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}=0を使わず導出したので、圧縮性流れでも成立する

参考文献

Lagrange的定式化による流体の運動方程式の導出は、自分の調べられる範囲だと以下のPDFしか見つからなかった

https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/teach/gfd/2012/chap3.pdf p.5-

微小体積の実質微分$ \frac{\mathrm{D}\mathrm{d}V}{\mathrm{D}t}の取扱いについては以下の文献に言及がある

『ラム流体力学1』 p.4-5

『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』 p.140 - p.141

ラグランジュ微分 - EMANの流体力学

https://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Fluid2.pdf p.3-