『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』

https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/4134CX6FgzL._SX353_BO1,204,203,200_.jpg https://www.amazon.co.jp/dp/4627675127

table:bibliography

著者 Javier Bonet, Richard D.Wood

訳者吉田純司, 寺嶋隆史, 生出佳

監訳非線形CAE協会

出版日 2017-06-19

出版社森北出版

件名標目有限要素法

NDC10 501.341

ISBN 4627675127

NDL search

https://www.morikita.co.jp/books/mid/301991

電子書籍あったんだtakker.icon

世界標準の入門書として地位を確立している原著名“Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis”の第2版,待望の翻訳! 大変形を含む非線形有限要素法の基礎となる連続体力学と,その離散化方法を,平易かつ簡潔に解説します.基礎理論からコンピュータへの実装までをカバーし,ソースコードも入手可能となっています.訳者による注記や付録も追加され,より理解しやすく工夫されています.

tensorの説明がわかりやすいtakker.icon

但し、共変・反変成分の事は書いていない。

正規直交基底しか扱わないからだろうか

tensor解析についても扱っている

Einsteinの総和規約を使わずに式展開しているところも好感ポイント

しおり用のひもつき

序文

訳者まえがき

記号類の表記について

1章　序論

2章　数学に関する予備知識

2. 1 はじめに

2. 2 ベクトルとテンソル

tensorの成分表示は、この節の表記に着想を得て作ったtakker.icon

2. 2. 1 ベクトル

2. 2. 2 2階のテンソル

2. 2. 3 ベクトルとテンソルの不変量

2. 2. 4 高階のテンソル

2. 3 線形化と方向微分

2. 3. 1 1自由度の方程式の解法

2. 3. 2 非線形問題に対する一般的な解法

2. 3. 3 方向微分の性質

2. 4 テンソル解析

2. 4. 1 勾配演算子と発散演算子

2. 4. 2 積分定理

演習問題

3章　3次元のトラス構造物の解析

4章　変形の記述

連続体の位置・速度・変形の記述方法を調べる

4. 1 はじめに

4. 2 運動

物体を物質点の集合として考える

質点の集合と解釈してもよさそう

物質点を特定するために、初期配置($ t=0の位置)$ \pmb{X}と対応づけておく

任意の時間における物質点の位置(現位置と呼ぶ)$ \pmb{x}は、函数$ \pmb{\phi}:(\pmb{X},t)\mapsto\pmb{x}で表す

定義より$ \pmb{X}=\pmb{\phi}(\pmb{X},0)が成り立つ

物体中の物質点の変位は$ \pmb{\phi}(\pmb{X},t)-\pmb{X}となる

厳密には、これだと平行移動や回転など、変形を含まない変位も混じってしまうので、それらの影響をのぞいた物理量を作る必要がある

構造力学では、ほとんど変位がないものとして考える

流体力学や金属加工問題だと、大きな変位が用意に発生する

4. 3 物質表示と空間表示

物質表示 (Lagrange表示)

物体中の特定の物質点$ \pmb{X}と時刻$ tで運動を表示する

$ (\pmb{X},t)\xmapsto{f}\pmb{p}

空間表示 (Euler表示)

空間内の位置$ \pmb{x}と時刻$ tで運動を表示する

$ (\pmb{x},t)\xmapsto{g}\pmb{p}

$ tが変化すると、異なる物質点が占める可能性が高い

例：流速$ (\pmb{x},t)\mapsto\pmb{u}

静水でないかぎり、$ \mathrm{d}t後に$ \pmb{x}に占める流体粒子は別のものになる

相互変換

$ f(\pmb{X},t)=g(\pmb{\phi}(\pmb{X},t),t)

$ g(\pmb{x},t)=f(\pmb{\phi}^{-1}(\pmb{x},t),t)

ただし、$ \pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{\phi}^{-1}(\pmb{x,t}),t)

完全な逆函数ではないが、記号が思いつかないので、特別に逆函数の記号を流用したtakker.icon

物質点を追跡したいときは前者を、その場の現象に着目したい場合は後者を使うことが多いが、厳密にはケースバイケースとなる

構造力学だと前者だろう

変形の移動量を調べたい

流体力学だと後者になる

流体粒子一つ一つの挙動を知ってもうれしくない

あっという間に流れ去ってしまう

そもそも粒子を区別する意味がない

検査領域での流速や水頭を知りたい

例4.1 1軸上の運動

4. 4 変形勾配

物質表示における微小線分vectorを、時刻$ tでの空間表示における微小線分vectorへ変換するtensorを求める

平行移動の影響をのぞいた量を作る

回転までは除けていない

物質点$ P(\pmb{X})の近傍にある別の物質点$ Q(\pmb{X}+\mathrm{d}\pmb{X})を考える

時刻$ tにおける$ Qの現位置$ \pmb{x}+\mathrm{d}\pmb{x}は

$ \pmb{x}+\mathrm{d}\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X}+\mathrm{d}\pmb{X},t)

$ =\pmb{\phi}(\pmb{X},t)+(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{\phi}(\pmb{X},t))^\top\mathrm{d}\pmb{X}

$ \pmb{\nabla}_0は初期配置$ \pmb{X}に対する微分演算子

$ tは含まない

$ \therefore\mathrm{d}\pmb{x}=(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{\phi}(\pmb{X},t))^\top\mathrm{d}\pmb{X}=:\pmb{F}\mathrm{d}\pmb{X}

$ \because\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)

$ \pmb{F}を変形勾配tensor(deformation gradient tensor)と呼ぶ

$ \pmb{\phi}の$ \pmb{X}に関するjaccob行列

2点tensor(two-point tensor)とも呼ぶ

2点間の初期配置の微小線分vector$ \mathrm{d}\pmb{X}を現配置のvector$ \mathrm{d}\pmb{x}に変換するtensor

注意4.1 ほかの教科書の表記

注意4.2

物質表示した量を空間表示に変換することをpush forwardと呼ぶ

$ \pmb{\phi}は$ \pmb{X}を$ \pmb{x}にpush forwardする変換

逆変換をpull backと呼ぶ

例4.2 一様変形

4. 5 ひずみ

物質表示における2つの微小線分vector$ \mathrm{d}\pmb{X}_0と$ \mathrm{d}\pmb{X}_1の内積変化を考える

右Cauchy-Green変形tensor

$ \mathrm{d}\pmb{x}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{x}_1=\pmb{F}\mathrm{d}\pmb{X}_0\cdot\pmb{F}\mathrm{d}\pmb{X}_1

$ =\mathrm{d}\pmb{X}_0\cdot\pmb{F}^\top\pmb{F}\mathrm{d}\pmb{X}_1

$ =\pmb{F}^\top\pmb{F}:\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1

ここで$ :は2重縮合

$ =:\pmb{C}:\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1

$ \pmb{C}を右Cauchy-Green変形tensorと呼ぶ

左Cauchy-Green変形tensor(Finger tensor)

$ \mathrm{d}\pmb{X}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{X}_1=\pmb{F}^{-1}\mathrm{d}\pmb{x}_0\cdot\pmb{F}^{-1}\mathrm{d}\pmb{x}_1

$ =\mathrm{d}\pmb{x}_0\cdot{\pmb{F}^{-1}}^\top\pmb{F}^{-1}\mathrm{d}\pmb{x}_1

$ =\left(\pmb{F}\pmb{F}^\top\right)^{-1}:\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1

$ \because {\pmb{F}^{-1}}^\top\pmb{F}^{-1}\pmb{F}\pmb{F}^\top={\pmb{F}^{-1}}^\top\pmb{F}^\top=\left(\pmb{F}\pmb{F}^{-1}\right)^\top=\pmb{I}

$ =:\pmb{b}^{-1}:\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1

$ \pmb{b}を左Cauchy-Green変形tensor、もしくは空間tensor量と呼ぶ

以上の変換を用いると、内積の変化は物質表示と空間表示の2通りで表現できる

物質表示

$ \frac12(\mathrm{d}\pmb{x}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{x}_1-\mathrm{d}\pmb{X}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{X}_1)=\frac12(\pmb{C}:\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1-\pmb{I}:\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1)

$ =\frac12(\pmb{C}-\pmb{I}):\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1

$ =:\pmb{E}:\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1

$ \pmb{E}をGreenひずみtensorもしくはLagrangeひずみtensorと呼ぶ

空間表示

$ \frac12(\mathrm{d}\pmb{x}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{x}_1-\mathrm{d}\pmb{X}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{X}_1)=\frac12\left(\pmb{I}:\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1-\pmb{b}^{-1}:\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1\right)

$ =\frac12\left(\pmb{I}-\pmb{b}^{-1}\right):\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1

$ =:\pmb{e}:\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1

$ \pmb{e}をAlmansiひずみtensorもしくはEulerひずみtensorと呼ぶ

$ \pmb{e}は使いたくないなtakker.icon

基底vectorと紛らわしい

なんで2で割るんだっけ？

4. 6 極分解

変形勾配tensorを回転tensorとstretch tensorに分解する

4. 7 体積の変化

4. 8 変形勾配テンソルの偏差成分

4. 9 面積変化

面積変化率

4. 10 変形に関連する量の線形化

4. 10. 1 変形勾配の線形化

4. 10. 2 ひずみの線形化

4. 10. 3 体積変化の線形化

4. 11 速度と物質時間導関数

4. 11. 1 速度

物質点$ \pmb{X}の速度$ \pmb{v}は

$ \pmb{v}=\frac{\mathrm{d}\pmb{\phi}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial\pmb{\phi}}{\partial t}

$ \pmb{X}と$ tは独立しているので、$ \mathrm{d}\pmb{X}成分は消える

となる

空間座標$ \pmb{x}にある物質点の速度$ \pmb{u}は、物質座標との変換式を用いて下記のように表せる

$ \pmb{u}=\pmb{v}(\pmb{\phi}^{-1}(\pmb{x},t),t)

$ \pmb{v}=\pmb{u}(\pmb{\phi}(\pmb{x},t),t)

4. 11. 2 物質時間導関数

↑のような、特定の物質点の時間導関数を物質時間導関数と呼ぶ

物質座標の函数の場合は↑のように偏微分するだけ

$ \pmb{a}=\ddot{\pmb{\phi}}=\frac{\partial^2\pmb{\phi}}{{\partial t}^2}

空間座標の函数の場合はややこしい

例：空間上の任意の点$ \pmb{x}における流速を$ (\pmb{x},t)\mapsto\pmb{u}としたとき、物質点$ \pmb{X}に対応づけられた流体粒子の加速度$ (\pmb{X},t)\mapsto\pmb{a}は

$ \def\dev#1#2{\frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}#2}}\def\pdev#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\pmb{a}=\dev{}{t}\pmb{u}(\pmb{\phi}(\pmb{X},t),t)=\left.\pdev{\pmb{u}}{t}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top\pmb{v}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}

第2項を対流微分(convective derivative)と呼ぶ

速度勾配tensorと流体粒子の速度との積

由来はなんだろうtakker.icon

実質微分と同じ？takker.icon

これを使うと、Eulerの運動方程式を導ける

初期配置が$ \pmb{X}の物質点$ Aに関する運動方程式を立式する

運動量変化

$ \mathrm{d}(\rho\pmb{v}\mathrm{d}v_A)

$ \mathrm{d}v_A:空間表示での微小体素

$ \mathrm{d}v_Aは時間変化するから外に出せない……これでいいのか？

体積変化率を考慮すればいいのか？

空間表示で立式すれば、気にしなくてすむ？

力

周囲からの圧力

$ -\pmb{\nabla}P\mathrm{d}v_A

面積力と呼ぶ？

単位質量あたりの外力$ \pmb{f}_A

体積力と呼ぶ？

質量保存則(連続の式 (流体))

$ \pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0

$ \iff \rho\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u}+(\pmb{\nabla}\rho)\cdot\pmb{u}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0

($ \mathrm{d}v_Aを一定とした場合)全部あわせると

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\mathrm{d}(\rho\pmb{v})\mathrm{d}v_A=(\rho\mathrm{d}v_A)\pmb{f}_A\mathrm{d}t-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}v_A\mathrm{d}t

$ \iff\def\pdev#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\left.\pdev{\pmb{u}}{t}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top\pmb{v}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}=\pmb{f}_A-\frac1\rho\pmb{\nabla}P

$ \pmb{v}=\pmb{u}(\pmb{\phi}(\pmb{x},t),t)で$ \pmb{v}を置き換えた後、$ \pmb{\phi}(\pmb{x},t)を$ \pmb{x}で略記すると

$ \therefore\def\pdev#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\pdev{\pmb{u}}{t}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top\pmb{u}=\pmb{f}_A-\frac1\rho\pmb{\nabla}P

4. 11. 3 方向微分と時間導関数

$ \mathrm{d}\pmb{F}=(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{F})^\top\mathrm{d}\pmb{X}+\frac{\partial\pmb{F}}{\partial t}\mathrm{d}t

$ =(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{F})^\top\mathrm{d}\pmb{X}+\left(\pmb{\nabla}_0\otimes\frac{\partial\pmb{\phi}}{\partial t}\right)^\top\mathrm{d}t

全く理解していないが、微分順序を交換してもいいらしいtakker.icon

$ =(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{F})^\top\mathrm{d}\pmb{X}+\left(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{v}\right)^\top\mathrm{d}t

4. 11. 4 速度勾配テンソル

速度勾配tensor

$ \pmb{l}:=(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top

これと$ \pmb{v}=\pmb{u}(\pmb{\phi}(\pmb{X},t),t)を使うと、

$ \mathrm{d}\pmb{F}=(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{F})^\top\mathrm{d}\pmb{X}+\left.\pmb{l}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}\pmb{F}\mathrm{d}t

となる。

$ \dot{\pmb{F}}=\frac{\mathrm{d}\pmb{F}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\pmb{F}}{\partial t}=\left.\pmb{l}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}\pmb{F}だから、$ \left.\pmb{l}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}=\dot{\pmb{F}}\pmb{F}^{-1}が成り立つ

4. 12 変形速度テンソル

変形速度tensor

4. 13 スピンテンソル

spin tensor

4. 14 体積変化率の時間導関数

4. 15 剛体運動の重ね合わせと客観性

客観性の原理

演習問題

5章　応力と力のつり合い

6章　超弾性体

7章　大変形における弾塑性モデル

8章　つり合い式の線形化