速度勾配tensor

$ \bm l:=\bm v\overleftarrow{\bm\nabla}

$ \bm\nabla\bm vから$ \bm v\overleftarrow{\bm\nabla}に書き換え中

性質

変形勾配tensor$ \bm Fとの関係

$ \bm l=\left.(\dot{\bm{F}}\cdot{\bm{F}^{-1}})\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}

導出

$ \bm{l}:=\bm v\overleftarrow{\bm\nabla}

$ =\dot{\bm{\phi}}(\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t),t)\overleftarrow{\bm\nabla}

$ =\left.\dot{\bm{\phi}}\overleftarrow{\bm\nabla}\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}\cdot\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)\overleftarrow{\bm\nabla}

$ =\dot{\bm{F}}(\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t),t)\cdot{\bm{F}(\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t),t)}^{-1}

$ =\left.(\dot{\bm{F}}\cdot{\bm{F}^{-1}})\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}

$ \bm l=\bm d+\bm w

性質

速度勾配tensorの時間変化率$ \frac{\mathrm D\bm l}{\mathrm Dt}=\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}\overleftarrow{\bm\nabla}-\bm l^2