変形勾配tensorの逆tensor
$ {\bm F}^{-1}=\left.\bm\phi^{-1}\overleftarrow{\bm\nabla}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
と表される
直感的にわかるように、逆tensorは運動函数$ \bm\phiの逆函数の勾配に相当する 厳密には空間表示から物質表示に変更する必要がある
導出
$ \bm I=\bm X\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm X}
$ ={\bm\phi}^{-1}(\bm\phi(\bm X,t),t)\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm X}
$ =\left.\bm\phi^{-1}\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm x}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm\phi\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm X}
$ =\left.\bm\phi^{-1}\overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm x}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F
$ \implies{\bm F}^{-1}=\left.\bm\phi^{-1}\overleftarrow{\bm\nabla}\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}
わかりやすくするために、物質点による微分を$ \overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm X}、空間位置$ \bm xによる微分を$ \overleftarrow{\bm\nabla}_{\bm x}とした