方向微分
多変数関数において、ある一定方向への無限小を取った微分係数のこと
$ \bm{\nabla}_{\bm a}f:=\lim_{h\to0}\frac{f(\bm{x}+h\bm{a})-f(\bm{x})}{h}
極限が存在する場合は、$ (\bm{\nabla}f)\cdot\bm{a}と等しくなる
……等しくなることの証明できないかもtakker.icon
やばい(汗)
極限の定義あたりからおさらいし直したほうが良さそうだな
記法
$ \bm{\nabla}_{\bm a}f
$ Df(\bm{x})[\bm{a}]
方向微分という名前なのに、実態が微分係数になっているのが納得いかないtakker.icon あとで調べるか。
全微分はすべての方向から無限小に近づけるが、方向微分はある特定方向にのみ近づける この文章の「無限小」とか「近づける」とかの定義が曖昧だなtakker.icon
もっと理解を深めてから書き直そう
$ \mathrm{d}f = \bm{\nabla}f\cdot\mathrm{d}\bm{x}
$ \bm{\nabla}_{\bm a}f=\bm{\nabla}f\cdot\bm{a}
やっぱり無限のorderが違うな
等しくなることの証明
$ \lim_{h\to0}\frac{f(\bm{x}+h\bm{a})-f(\bm{x})}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(\bm{x}+(0+h)\bm{a})-f(\bm{x}+(0)\bm a)}{h}
$ = \left.\lim_{h\to0}\frac{f(\bm{x}+(x+h)\bm{a})-f(\bm{x}+x\bm a)}{h}\right|_{x=0}
$ =(f(\bm x+x\bm a))'(0)
$ = \left.\bm\nabla f(\bm x')\right|_{\bm x'=\bm x+0\bm a}\cdot\left.(\bm x+x\bm a)'\right|_{x=0}
$ =\bm\nabla f\cdot\bm a