交代tensor
完全反対称になるのは次元と階数が一致するときだけだから いや、次元が多くても完全反対称にはなるのか……
やっぱり「m次元n階」と書いたほうがいいのだろうか
次元が多いときは反対称tensorになる
2022-08-21 08:18:39
名前を「交代tensor」から「3次元3階完全反対称tensor」に変える
理由
「交代tensor」の意味に揺れがあり、紛らわしい
次元と階数を一般化できるとわかった
$ n\ge mの範囲で、m次元n階完全反対称tensorを定義できる
$ n<mだと0 tensorにつぶれてしまう
このとき、任意の基底$ {\sf E}=\{\pmb e_0,\pmb e_1\}にて以下が成り立つ
$ \begin{dcases}\pmb e_0\cdot\pmb A\cdot\pmb e_1=-\pmb e_0\cdot\pmb A^\top\cdot\pmb e_1\\\pmb e_0\cdot\pmb A\cdot\pmb e_0=\pmb e_1\cdot\pmb A\cdot\pmb e_1=0\end{dcases}
$ \therefore\begin{dcases}&[\pmb A]^{\sf EE}_{01}=-[\pmb A]^{\sf EE}_{10}\\&[\pmb A]^{\sf EE}_{00}=[\pmb A]^{\sf EE}_{11}=0\end{dcases}
よって、$ \pmb A=[\pmb A]^{\sf EE}_{01}\pmb e_0\wedge\pmb e_1 が成り立つ
別の基底$ \sf Fとの変換を調べる
$ [\pmb A]^{\sf FF}_{01}=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}[\pmb I]^{\sf \bar EF}_{j1}
$ =[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{00}[\pmb A]^{\sf EE}_{01}[\pmb I]^{\sf \bar EF}_{11}-[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{01}[\pmb A]^{\sf EE}_{01}[\pmb I]^{\sf \bar EF}_{01}
$ =([\pmb I]^{\sf F\bar E}_{00}[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{11}-[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{01}[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{10})[\pmb A]^{\sf EE}_{01}
$ =(\det[\pmb I]^{\sf F\bar E})[\pmb A]^{\sf EE}_{01}
座標系で成分が変化してしまうのか
単位tensorみたいなのは作れない？