混合成分では(反)対称性が成立しない

2023-12-19 21:04:07 ほんとか？

反対称tensorの対角成分で試してみる

$ \frac12({T^i}_i-{T_i}^i)=\frac12(I^{ij}{T_j}^kI_{ki}-{I_i}^j{T_j}^k{I_k}^i)

$ = \frac12(I^{ij}I_{ki}-{I_i}^j{I_k}^i){T_j}^k

$ = \frac12(I^{ji}I_{ik}-{I^j}_i{I^i}_k){T_j}^k

$ = \frac12(\bm e^j\cdot\bm e^i\bm e_i\cdot\bm e_k-\bm e^j\cdot\bm e_i\bm e^i\cdot\bm e_k){T_j}^k

$ =\frac12(\bm e^i\bm e_i-\bm e_i\bm e^i):\bm e^j\bm e_k{T_j}^k

$ =\frac12(\bm e^i\bm e_i-\bm e_i\bm e^i):\bm T

いや、これは当然か

$ \frac12({T^i}_i-{T_i}^i)=\frac12(\bm T:\bm e^i\bm e_i-\bm T:\bm e_i\bm e^i)=\frac12(\bm e^i\bm e_i-\bm e_i\bm e^i):\bm T

確かに、0にはならなそうだ