行列式

定義

2次元

$ \det[\pmb{A}]:=+[\pmb{A}]_{11}[\pmb{A}]_{22}-[\pmb{A}]_{12}[\pmb{A}]_{21}

3次元

$ \det[\pmb{A}]:=\sum_{(i,j,k)\in{\N_{\le 3}}^3}\epsilon_{ijk}[\pmb{A}]_{1i}[\pmb{A}]_{2j}[\pmb{A}]_{3k}

一般

よく使われる定義

$ \det[\pmb{A}]:=\sum_{\sigma\in S(n)}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{1\le i\le n}[\pmb{A}]_{i\sigma_i}

記号の定義

$ S(n):=\{\sigma:\N_{\le n}\to\N_{\le n}|\sigma\text{は全単射}\}

$ \mathrm{sgn}(\sigma):=(-1)^{E(\sigma)}

$ E(\sigma):=|\{(i,j)\in{\N_{\le n}}^2|i<j\land\sigma_i>\sigma_j\}|

$ \det[\pmb{A}]:=\sum_{\sigma\in{\N_{\le n}}^n}\epsilon_\sigma\prod_{1\le i\le n}[\pmb{A}]_{i\sigma_i}

記号の定義

$ \epsilon_\sigma:=\begin{dcases}0&\text{if }\exist i,j\le n;\sigma_i=\sigma_j\\(-1)^{E(\sigma)}&\text{otherwise}\end{dcases}