Levi-Civita記号

Cross積や行列式を定義するときにつかうやつ

一般の場合

反対称tensorの定義と同様に書くと、以下の式を満たす$ \epsilonを$ n階のLevi-Civita記号と定義できる

$ \epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_i\cdots\lambda_j\cdots\lambda_{n-1}}=-\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_j\cdots\lambda_i\cdots\lambda_{n-1}}

任意の添え字を入れ替えると符号が反転する

同じ添え字があると0になることは、この性質から導ける

2.$ \epsilon_{012\cdots n-1}=1

Levi-Civita記号を一意に決定づけるための式

これがない場合は任意定数倍$ \alpha\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}が許容される

3階反対称単位テンソルの縮約公式基礎物理から半導体デバイスまで#656ba1861280f000007ecf05では、これを明確にするため単位テンソルと書いている

2階の場合

$ \epsilon_{01}=1

$ \epsilon_{10}=-\epsilon_{01}=-1

$ \epsilon_{11}=\epsilon_{00}=0

3階の場合

$ \epsilon_{i j k}=\begin{dcases}1 & ((i, j, k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)) \\-1 & ((i, j, k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)) \\0 & \text{ (otherwise) }\end{dcases}

これを用いると、Cross積を以下のように記述できる($ \sf Eを標準基底とする)

$ \pmb{a}\times\pmb{b}=\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j[\pmb{b}]^\mathsf{E}_k\pmb{e}_i

記号の流儀

$ \epsilon,\varepsilon,eなどが使われる

$ eは『テンソル解析と連続体力学　理工学海外名著シリーズ30』で使われている

/takkerでは、特に断りがない限り$ \epsilonを使うことにするtakker.icon

$ \varepsilonは微小ひずみtensorと混同するので避ける

性質

縮約公式

階数に応じて、関係式が作られる

n重縮合

$ \epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}=n!

証明：

2乗しているので、どの項も$ 0か$ 1のどちらかになる

$ 0にならない添え字の組み合わせは、$ 0から$ n-1の順列と等しい

よって$ 1の項が$ n!個あり、その総和が答えとなる

例

2階：$ {\epsilon_{ij}}^2=2

3階：$ {\epsilon_{ijk}}^2=6

$ {\Large\bm\epsilon}\vdots{\Large\bm\epsilon}=3!に対応

n階完全反対称tensorの各種法則メモ#630182f01280f00000a6bc43を参照

n-1重縮合

$ \epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}\epsilon_{\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}\lambda_n}=(-1)^{n-1}(n-1)!\llbracket\lambda_0=\lambda_n\rrbracket

例

2階：$ \epsilon_{ij}\epsilon_{jk}=\epsilon_{ij}\epsilon_{jk}\llbracket i=k\rrbracket

$ \because0にならない項は$ \{i,j,k\}=\{0,1\}\land i\neq jでなければならないから、鳩ノ巣原理より$ i=kでないといけない

$ =\epsilon_{ij}\epsilon_{ji}\llbracket i=k\rrbracket

$ =-{\epsilon_{ij}}^2\llbracket i=k\rrbracket

$ = -\llbracket i=k\rrbracket

$ \bm\epsilon\cdot\bm\epsilon=-\bm Iに対応

3階：$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{jkl}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{jkl}\llbracket i=l\rrbracket

$ \because0にならない項は$ \{i,j,k,l\}=\{0,1,2\}\land i\neq j\neq k\neq iでなければならないから、鳩ノ巣原理より$ i=lでないといけない

$ = \epsilon_{ijk}\epsilon_{jki}\llbracket i=l\rrbracket

$ = {\epsilon_{ijk}}^2\llbracket i=l\rrbracket

$ = 2\llbracket i=l\rrbracket

$ \because iを固定した時、$ j,kの組み合わせは2通りある

$ {\Large\bm\epsilon}:{\Large\bm\epsilon}=2\bm Iに対応

n-2重縮合

$ \epsilon_{\lambda_0\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_{n-1}}\epsilon_{\lambda_2\cdots\lambda_{n-1}\lambda_n\lambda_{n+1}}=\llbracket\lambda_0=\lambda_n\rrbracket\llbracket\lambda_1=\lambda_{n+1}\rrbracket-\llbracket\lambda_0=\lambda_{n+1}\rrbracket\llbracket\lambda_1=\lambda_n\rrbracket

例

2階：$ \epsilon_{ij}\epsilon_{kl}=\epsilon_{ij}\epsilon_{il}\llbracket i=k\rrbracket+\epsilon_{ij}\epsilon_{ki}\llbracket i=l\rrbracket

$ = \llbracket j=l\rrbracket\llbracket i=k\rrbracket-\llbracket k=j\rrbracket\llbracket i=l\rrbracket

$ =\llbracket i=k\rrbracket\llbracket j=l\rrbracket-\llbracket i=l\rrbracket\llbracket j=k\rrbracket

$ \bm\epsilon\bm\epsilon=2{\cal\pmb W}に相当

3階：$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{kij}\llbracket i=l\rrbracket\llbracket j=m\rrbracket+\epsilon_{ijk}\epsilon_{kji}\llbracket i=m\rrbracket\llbracket j=l\rrbracket

$ =\llbracket i=l\rrbracket\llbracket j=m\rrbracket-\llbracket i=m\rrbracket\llbracket j=l\rrbracket

$ {\Large\bm\epsilon}\cdot{\Large\bm\epsilon}=2{\cal\pmb W}に相当

n重でscalar、n-1重で恒等tensor$ \bm I、n-2重で反対称写像tensor$ {\cal\pmb W}になるという関係がある

$ \epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}a_{\lambda_0\mu_0}a_{\lambda_1\mu_1}\cdots a_{\lambda_{n-1}\mu_{n-1}}=\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}\epsilon_{\mu_0\mu_1\cdots\mu_{n-1}}a_{\lambda_00}a_{\lambda_11}\cdots a_{\lambda_{n-1}n-1}\quad\text{.for }\forall \lambda_\bullet,\mu_\bullet\in[0,n\lbrack

行列式を解くのに使う関係

行列式との関係

$ \det [A]=\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}[A]_{0\lambda_0}[A]_{1\lambda_1}\cdots[A]_{n-1\lambda_{n-1}}

ここで、$ [A] はn次元行列とした

行列式をLevi-Civita記号2つで表現する

2次元tensorのとき

$ \det\pmb A=\epsilon_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1j}=\epsilon_{01}\epsilon_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1j}

$ \epsilon_{10}\epsilon_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0j}=-\epsilon_{01}\epsilon_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0j}=\epsilon_{01}\epsilon_{ji}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0j}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1i}=\epsilon_{01}\epsilon_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1j}=\det\pmb A

$ \therefore\det\pmb A=\frac12\epsilon_{ij}\epsilon_{kl}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ik}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{jl}

性質がわかったtakker.icon

添え字を入れ替えても符号が変わらないんだ

添え字の入れ替えは$ n!通りあるから、$ n!個足し合わせて$ n!で割れば元通り

3次元tensor

$ \det\pmb A=\epsilon_{ijk}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1j}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{2k}=\epsilon_{012}\epsilon_{ijk}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1j}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{2k}

$ \epsilon_{021}\epsilon_{ijk}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{2j}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1k}=(-\epsilon_{012})(-\epsilon_{ikj})[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1k}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{2j}=\det\pmb A

$ \therefore\det A=\frac1{3!}\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{il}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{jm}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{kn}

$ \epsilon_{ijk}a_{il}a_{jm}a_{kn}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}a_{i0}a_{j1}a_{k2}とも書ける

一般に、

である

次元(添字の動く範囲)$ nと階数$ mが常に等しくないと完全反対称にはならない

$ n>mのとき

$ 1,0,-1以外の値を取れるようになる

例えば3次元2階反対称tensorは独立な成分を3つ取れる

$ A_{ij}=\begin{pmatrix}0&a_2&-a_1\\-a_2&0&a_0\\a_1&-a_0&0\\\end{pmatrix}

Cross積の行列展開やHodge作用素も参照

$ \epsilon_{ijk}a_k=A_{ij}が成立することからわかるように、n階完全反対称tensorと密接なつながりがある

$ n<mのとき