2階tensorの不変量

2階tensorから導出される、座標変換に不変なscalarのこと

座標に依存しないscalarとも言える

tensorを引数にとるscalar値函数で、特定の基底をに依存しないものはすべて不変量になる

その無数の不変量のうち、いくつかの形がよく使われる

ただしよく使われる2階tensorの不変量の定義は文献によってまちまち

/takkerで使うネームド不変量

基本不変量

trace (tensor)によるもの

$ I_{\bm A}:={\rm tr}\bm A

$ I\!I_{\bm A}:={\rm tr}\left(\bm A^2\right)

一般に$ I\!I_{\bm A}\neq\bm A:\bm Aに注意

$ I\!I\!I_{\bm A}:={\rm tr}\left(\bm A^3\right)

主不変量

固有方程式から導出されるもの

第1不変量$ I_1^{\bm A}:=I_{\bm A}=\lambda_0^{\bm A}+\lambda_1^{\bm A}+\lambda_2^{\bm A}

第2不変量$ I_2^{\bm A}:=\frac12\left({I_{\bm A}}^2-I\!I_{\bm A}\right)=\lambda_0^{\bm A}\lambda_1^{\bm A}+\lambda_1^{\bm A}\lambda_2^{\bm A}+\lambda_2^{\bm A}\lambda_0^{\bm A}

第3不変量$ I_3^{\bm A}:=-\frac13\left({I_{\bm A}}^3-I\!I\!I_{\bm A}\right)+I_{\bm A}I_2^\bm A=\lambda_0^{\bm A}\lambda_1^{\bm A}\lambda_2^{\bm A}

...と、以上の要領で第n不変量$ I_n^\bm Aを定義する

主不変量は任意次元の固有方程式の係数をなす

$ \bm A^n-I_1^{\bm A}\bm A^{n-1}+\cdots+(-1)^iI_i^{\bm A}\bm A^{n-i}+\cdots(-1)^nI_n^{\bm A}\bm I=\bm0

(例に出したのはCayley-Hamiltonの定理のほうだけど)

なお、この式から類推して、$ I_0^{\bm{A}}:=1としてもいいかもしれない

n次元2階tensorに対して第n不変量まで定義できる

特に、最高次の不変量は行列式と常に等しくなる

$ I_n^\bm A=\det\bm A

$ I_{n+1}^\bm A=0になる(はず)

「基本不変量」「主不変量」という表現は『例題で学ぶ連続体力学』p.66が出典

便利なので使わせてもらうtakker.icon

⚠記号書き換え中

性質

$ I\!I_{\bm A}=I_{\bm A^2}

$ I\!I\!I_{\bm A}=I_{\bm A^3}

$ I_3^{\bm A}=-\frac13\left(\left(I_1^\bm A\right)^3-I_1^{\bm A^3}\right)+I_1^\bm AI_2^\bm A

第3不変量を第1不変量と第2不変量で表す

$ \bm A^3-I_{\bm A}\bm A^2+I\!I\!I_{\bm A}'\bm A=\bm0

$ \implies I\!I\!I_{\bm A}-I_{\bm A}(I\!I_{\bm A}-I\!I\!I_{\bm A}')=0

$ \implies I\!I\!I_{\bm A}-I_{\bm A}(I\!I_{\bm A}-I\!I_{\bm A}')=0

$ \implies-\frac13\left({I_{\bm A}}^3-I\!I\!I_{\bm A}\right)+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=\frac13\left(I_{\bm A}(I\!I_{\bm A}-I\!I_{\bm A}')-{I_{\bm A}}^3\right)+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'

$ =\frac13I_{\bm A}\left(I\!I_{\bm A}-I\!I_{\bm A}'-{I_{\bm A}}^2+3I\!I_{\bm A}'\right)

$ =\frac13I_{\bm A}\left(-3I\!I_{\bm A}'+3I\!I_{\bm A}'\right)

$ =0

$ I\!I\!I_{\bm A}-I_{\bm A}(I\!I_{\bm A}-I\!I_{\bm A}')=0

$ \iff I\!I\!I_{\bm A}-I_{\bm A}I\!I_{\bm A}+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=0

$ \iff I\!I\!I_{\bm A}+I_{\bm A}(2I\!I_{\bm A}'-{I_{\bm A}}^2)+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=0

$ \iff-\left({I_{\bm A}}^3-I\!I\!I_{\bm A}\right)+3I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=0

$ \iff-\frac13\left({I_{\bm A}}^3-I\!I\!I_{\bm A}\right)+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=0

計算ミスかと思ったけど、正しかったようだtakker.icon

2次元だと3次元における行列式の別表現が0になる

偏差tensorの不変量との関係

$ I\!I_{\bm A}'=\frac{{I_{\bm A}}^2}{I_{\bm I}}+J\!J_{\bm A}'

$ I\!I_{\bm A}=\frac{{I_{\bm A}}^2}{I_{\bm I}}+J\!J_{\bm A}

$ J\!J'_{\bm A}=-\frac12J\!J_{\bm A}

2次元にて$ J\!J\!J_{\bm A}'=J\!J_{\bm A}'

3次元にて$ J\!J\!J'_{\bm A}=-\frac13J\!J\!J_{\bm A}

3次元にて$ J\!J\!J_{\bm A}'=-\frac13\left(0-I\!I\!I_{{\cal\pmb D}:\bm A}\right)+0=-\frac13I\!I\!I_{{\cal\pmb D}:\bm A}=-\frac13I_{{{\cal\pmb D}:\bm A}^3}

$ I_{{{\cal\pmb D}:\bm A}^3}=I_{(\bm A-\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\bm I)^3}

$ =I_{{\bm A}^3-3\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}{\bm A}^2+3\left(\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\right)^2\bm A-\left(\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\right)^3\bm I}

$ =I\!I\!I_{\bm A}-3\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}I\!I_{\bm A}+3\left(\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\right)^2I_{\bm A}-\left(\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\right)^3I_{\bm I}

$ =I\!I\!I_{\bm A}-3\frac{I_{\bm A}}{I_{\bm I}}I\!I_{\bm A}+3\left(\frac{I_{\bm A}}{I_{\bm I}}\right)^2I_{\bm A}-\left(\frac{I_{\bm A}}{I_{\bm I}}\right)^3I_{\bm I}

$ =I\!I\!I_{\bm A}-3\frac{I_{\bm A}}{I_{\bm I}}I\!I_{\bm A}+2\left(\frac{I_{\bm A}}{I_{\bm I}}\right)^2I_{\bm A}

$ \implies I\!I\!I_{\bm A}=I_{\bm A}I\!I_{\bm A}-\frac29{I_{\bm A}}^3+J\!J\!J_{\bm A}

$ \because3次元なので$ I_{\bm I}=3

$ \implies 3I\!I\!I_{\bm A}'+{I_{\bm A}}^3-3I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=I_{\bm A}I\!I_{\bm A}-\frac29{I_{\bm A}}^3-3J\!J\!J_{\bm A}'

$ \because 3I\!I\!I_{\bm A}'+{I_{\bm A}}^3-3I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=I\!I\!I_{\bm A}

$ \implies I\!I\!I_{\bm A}'=-\frac13{I_{\bm A}}^3+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'+\frac13I_{\bm A}I\!I_{\bm A}-\frac2{27}{I_{\bm A}}^3-J\!J\!J_{\bm A}'

$ \implies I\!I\!I_{\bm A}'=-\frac13{I_{\bm A}}^3+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'+\frac13I_{\bm A}({I_{\bm A}}^2-2I\!I_{\bm A}')-\frac2{27}{I_{\bm A}}^3-J\!J\!J_{\bm A}'

$ =-\frac2{27}{I_{\bm A}}^3+\frac13I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'-J\!J\!J_{\bm A}'

(旧表記について)

2024-05-03 22:22:46 変更

基本不変量

$ I_{\bm A}:={\rm tr}\bm A

$ I\!I_{\bm A}:={\rm tr}(\bm A^2)=I_{\bm A^2}

ほとんどのテキストでは$ \bm A:\bm Aとしているが、非対称tensorでも$ I\!I_{\bm A}=\left(\lambda_0^{\bm A}\right)^2+\left(\lambda_1^{\bm A}\right)^2+\cdots+\left(\lambda_{n-1}^{\bm A}\right)^2を成り立たせるにはこのように定義しなければならない

対称tensorでは$ {\rm tr}(\bm A^2)=\bm A:\bm Aなので影響なし

$ I\!I\!I_{\bm A}:=\det\bm A

主不変量

$ I_{\bm A}':=I_{\bm A}

$ I\!I_{\bm A}':=\frac12(I_{\bm A}^2-I\!I_{\bm A})

$ I\!I\!I_{\bm A}':=I\!I\!I_{\bm A}

偏差基本不変量

$ J_{\bm A}:=I_{{\cal\pmb D}:\bm A}=0

$ J\!J_{\bm A}:=I\!I_{{\cal\pmb D}:\bm A}=I_{(\bm A-\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\bm I)^2}=I_{\bm A^2-2\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\bm A+\left(\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\right)^2\bm I}=I\!I_{\bm A}-\left(\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\right)^2{\rm tr}\bm I=I\!I_{\bm A}-\frac{{I_{\bm A}}^2}{I_{\bm I}}

$ J\!J\!J_{\bm A}:=\det{\cal\pmb D}:\bm A

偏差主不変量

$ J_{\bm A}':=J_{\bm A}=0

$ J\!J_{\bm A}':=\frac12(J_{\bm A}^2-J\!J_{\bm A})=-\frac12J\!J_{\bm A}

$ I\!I_{\bm A}=J\!J_{\bm A}+\frac13{I_{\bm A}}^2だから、$ I\!I_{\bm A}'=\frac12(\frac23{I_{\bm A}}^2-J\!J_{\bm A})=\frac13{I_{\bm A}}^2-\frac12J\!J_{\bm A}=\frac{{I_{\bm A}}^2}{I_{\bm I}}+J\!J_{\bm A}'

以下が成り立つ

$ I\!I_{\bm A}'=\frac{{I_{\bm A}}^2}{I_{\bm I}}+J\!J_{\bm A}'

$ I\!I_{\bm A}=\frac{{I_{\bm A}}^2}{I_{\bm I}}+J\!J_{\bm A}

$ I_{\bm A}=0なら$ \bm A={\cal\pmb D}:\bm Aなことからも、検算できる

$ J\!J\!J_{\bm A}':=J\!J\!J_{\bm A}

変更理由

基本不変量と主不変量の二つが同時に出てくることがある

cf. 『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』

このテキストでは$ I\!I_{\bm A}^*としていたが、複素共役と混ざるので、$ I\!I_{\bm A}'とした

もっとも第2不変量以外は同等なので、実際に使い分けるのは$ I\!I_{\bm A}と$ I\!I_{\bm A}'しかない

なお、1,2,3と数字を割り当てる方法は、4次元以上の2階tensorを考慮できない

その場合、$ I_{-1}などと後ろからnumberingすべきかもしれない