2階tensorの不変量

2階tensorから導出される、座標変換に不変なscalarのこと

基底に依存しないscalarとも言える

vectorの形の不変量があるかはしらないtakker.icon

tensorを引数にとるscalar値函数で、特定の基底をに依存しないものはすべて不変量になる

その無数の不変量のうち、いくつかの形がよく使われる

ただしよく使われる2階tensorの不変量の定義は文献によってまちまち

/takkerで使うネームド不変量

基本不変量$ I_{\bm{A}},{I\!I}_{\bm{A}},{I\!I\!I}_{\bm{A}},\dots

$ \mathrm{tr}\left(\bm A^n\right)で表される形式の不変量

主不変量$ I_1^{\bm{A}},I_2^{\bm{A}},I_3^{\bm{A}},\dots

固有方程式の係数

「基本不変量」「主不変量」という表現は『例題で学ぶ連続体力学』p.66が出典

便利なので使わせてもらうtakker.icon

⚠記号書き換え中

性質

$ I\!I_{\bm A}=I_1^{\bm A^2}

$ I\!I\!I_{\bm A}=I_1^{\bm A^3}

$ I_3^{\bm A}=-\frac13\left(\left(I_1^{\bm A}\right)^3-I_1^{{\bm A}^3}\right)+I_1^{\bm A}I_2^{\bm A}

第3不変量を第1不変量と第2不変量で表す

$ \bm A^3-I_1^{\bm A}\bm A^2+I_3^{\bm A}\bm A=\bm0

$ \implies I\!I\!I_{\bm A}-I_{\bm A}(I\!I_{\bm A}-I\!I\!I_{\bm A}')=0

$ \implies I\!I\!I_{\bm A}-I_{\bm A}(I\!I_{\bm A}-I\!I_{\bm A}')=0

$ \implies-\frac13\left({I_{\bm A}}^3-I\!I\!I_{\bm A}\right)+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=\frac13\left(I_{\bm A}(I\!I_{\bm A}-I\!I_{\bm A}')-{I_{\bm A}}^3\right)+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'

$ =\frac13I_{\bm A}\left(I\!I_{\bm A}-I\!I_{\bm A}'-{I_{\bm A}}^2+3I\!I_{\bm A}'\right)

$ =\frac13I_{\bm A}\left(-3I\!I_{\bm A}'+3I\!I_{\bm A}'\right)

$ =0

$ I\!I\!I_{\bm A}-I_{\bm A}(I\!I_{\bm A}-I\!I_{\bm A}')=0

$ \iff I\!I\!I_{\bm A}-I_{\bm A}I\!I_{\bm A}+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=0

$ \iff I\!I\!I_{\bm A}+I_{\bm A}(2I\!I_{\bm A}'-{I_{\bm A}}^2)+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=0

$ \iff-\left({I_{\bm A}}^3-I\!I\!I_{\bm A}\right)+3I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=0

$ \iff-\frac13\left({I_{\bm A}}^3-I\!I\!I_{\bm A}\right)+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'=0

計算ミスかと思ったけど、正しかったようだtakker.icon

2次元だと3次元における行列式の別表現が0になる

偏差主不変量との関係

偏差主不変量を参照

(旧表記について)

2024-05-03 22:22:46 変更

基本不変量

$ I_{\bm A}:={\rm tr}\bm A

$ I\!I_{\bm A}:={\rm tr}(\bm A^2)=I_{\bm A^2}

ほとんどのテキストでは$ \bm A:\bm Aとしているが、非対称tensorでも$ I\!I_{\bm A}=\left(\lambda_0^{\bm A}\right)^2+\left(\lambda_1^{\bm A}\right)^2+\cdots+\left(\lambda_{n-1}^{\bm A}\right)^2を成り立たせるにはこのように定義しなければならない

対称tensorでは$ {\rm tr}(\bm A^2)=\bm A:\bm Aなので影響なし

$ I\!I\!I_{\bm A}:=\det\bm A

主不変量

$ I_{\bm A}':=I_{\bm A}

$ I\!I_{\bm A}':=\frac12(I_{\bm A}^2-I\!I_{\bm A})

$ I\!I\!I_{\bm A}':=I\!I\!I_{\bm A}

偏差基本不変量

$ J_{\bm A}:=I_{{\cal\pmb D}:\bm A}=0

$ J\!J_{\bm A}:=I\!I_{{\cal\pmb D}:\bm A}=I_{(\bm A-\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\bm I)^2}=I_{\bm A^2-2\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\bm A+\left(\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\right)^2\bm I}=I\!I_{\bm A}-\left(\frac{{\rm tr}\bm A}{{\rm tr}\bm I}\right)^2{\rm tr}\bm I=I\!I_{\bm A}-\frac{{I_{\bm A}}^2}{I_{\bm I}}

$ J\!J\!J_{\bm A}:=\det{\cal\pmb D}:\bm A

偏差主不変量

$ J_{\bm A}':=J_{\bm A}=0

$ J\!J_{\bm A}':=\frac12(J_{\bm A}^2-J\!J_{\bm A})=-\frac12J\!J_{\bm A}

$ I\!I_{\bm A}=J\!J_{\bm A}+\frac13{I_{\bm A}}^2だから、$ I\!I_{\bm A}'=\frac12(\frac23{I_{\bm A}}^2-J\!J_{\bm A})=\frac13{I_{\bm A}}^2-\frac12J\!J_{\bm A}=\frac{{I_{\bm A}}^2}{I_{\bm I}}+J\!J_{\bm A}'

以下が成り立つ

$ I\!I_{\bm A}'=\frac{{I_{\bm A}}^2}{I_{\bm I}}+J\!J_{\bm A}'

$ I\!I_{\bm A}=\frac{{I_{\bm A}}^2}{I_{\bm I}}+J\!J_{\bm A}

$ I_{\bm A}=0なら$ \bm A={\cal\pmb D}:\bm Aなことからも、検算できる

$ J\!J\!J_{\bm A}':=J\!J\!J_{\bm A}

変更理由

基本不変量と主不変量の二つが同時に出てくることがある

cf. 『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』

このテキストでは$ I\!I_{\bm A}^*としていたが、複素共役と混ざるので、$ I\!I_{\bm A}'とした

もっとも第2不変量以外は同等なので、実際に使い分けるのは$ I\!I_{\bm A}と$ I\!I_{\bm A}'しかない

なお、1,2,3と数字を割り当てる方法は、4次元以上の2階tensorを考慮できない

その場合、$ I_{-1}などと後ろからnumberingすべきかもしれない