主不変量
定義
第1不変量$ I_1^{\bm A}:=I_{\bm A}=\lambda_0^{\bm A}+\lambda_1^{\bm A}+\lambda_2^{\bm A} 第2不変量$ I_2^{\bm A}:=\frac12\left(\left(I_1^{\bm A}\right)^2-I_1^{\bm A^2}\right)=\lambda_0^{\bm A}\lambda_1^{\bm A}+\lambda_1^{\bm A}\lambda_2^{\bm A}+\lambda_2^{\bm A}\lambda_0^{\bm A} 第3不変量$ I_3^{\bm A}:=-\frac13\left(\left(I_1^{\bm A}\right)^3-I_1^{{\bm A}^3}\right)+I_1^{\bm A}I_2^{\bm A}=\lambda_0^{\bm A}\lambda_1^{\bm A}\lambda_2^{\bm A} ...と、以上の要領で第n不変量$ I_n^{\bm A}を定義する
(固有値による記述は3次元を例にとっている)
n次元2階tensorに対して第n不変量まで定義できる
性質
$ I_n^{\bm A}=I_{\mathrm{tr}\bm I}^{\bm A}=\det\bm A
あと$ I_{n+1}^{\bm A}=0になるはずtakker.icon
$ n=0,1で確認した
他は未確認
$ \bm A^n-I_1^{\bm A}\bm A^{n-1}+\cdots+(-1)^iI_i^{\bm A}\bm A^{n-i}+\cdots(-1)^nI_n^{\bm A}\bm I=\bm0
この式から類推して、$ I_0^{\bm{A}}:=1としてもいいかもしれないtakker.icon