固有方程式

一般形

$ \det(\bm A-\lambda\bm I)=0

次元ごとの具体的な式形

$ \det(\bm A-\lambda\bm I)=0

$ \iff\epsilon_{ijkl}(A_{i0}-\lambda I_{i0})(A_{j1}-\lambda I_{j1})(A_{k2}-\lambda I_{k2})(A_{l3}-\lambda I_{l3})=0

$ \iff\epsilon_{ijkl}A_{i0}A_{j1}A_{k2}A_{l3}

$ -\epsilon_{ijk3}A_{i0}A_{j1}A_{k2}\lambda

$ -\epsilon_{ij2l}A_{i0}A_{j1}A_{l3}\lambda

$ -\epsilon_{i1kl}A_{i0}A_{k2}A_{l3}\lambda

$ -\epsilon_{0jkl}A_{j1}A_{k2}A_{l3}\lambda

$ +\epsilon_{ij23}A_{i0}A_{j1}\lambda^2

$ +\epsilon_{0jk3}A_{j1}A_{k2}\lambda^2

$ +\epsilon_{01kl}A_{k2}A_{l3}\lambda^2

$ +\epsilon_{i12l}A_{i0}A_{l3}\lambda^2

$ +\epsilon_{i1k3}A_{i0}A_{k2}\lambda^2

$ +\epsilon_{0j2l}A_{j1}A_{l3}\lambda^2

$ -\epsilon_{i123}A_{i0}\lambda^3

$ -\epsilon_{0j23}A_{j1}\lambda^3

$ -\epsilon_{01k3}A_{k2}\lambda^3

$ -\epsilon_{012l}A_{l3}\lambda^3

$ +\lambda^4=0

$ \iff\det\bm A

$ -\epsilon_{ijk3}A_{i0}A_{j1}A_{k2}\lambda

$ -\epsilon_{ij2l}A_{i0}A_{j1}A_{l3}\lambda

$ -\epsilon_{i1kl}A_{i0}A_{k2}A_{l3}\lambda

$ -\epsilon_{0jkl}A_{j1}A_{k2}A_{l3}\lambda

$ +\epsilon_{ij23}A_{i0}A_{j1}\lambda^2

$ +\epsilon_{0jk3}A_{j1}A_{k2}\lambda^2

$ +\epsilon_{01kl}A_{k2}A_{l3}\lambda^2

$ +\epsilon_{i12l}A_{i0}A_{l3}\lambda^2

$ +\epsilon_{i1k3}A_{i0}A_{k2}\lambda^2

$ +\epsilon_{0j2l}A_{j1}A_{l3}\lambda^2

$ -{\rm tr}(\bm A)\lambda^3+\lambda^4=0

係数の計算

$ I\!I_{\bm A}=\frac12(({\rm tr}\bm A)^2-{\rm tr}(\bm A^2))

$ = \frac12(A_{ii}^2+2A_{00}A_{11}+2A_{11}A_{22}+2A_{22}A_{33}+2A_{00}A_{22}+2A_{11}A_{33}-A_{ij}A_{ji})

$ = \frac12(2A_{00}A_{11}+2A_{11}A_{22}+2A_{22}A_{33}+2A_{00}A_{22}+2A_{11}A_{33}-\sum_{i<j}A_{ij}A_{ji}-\sum_{j<i}A_{ij}A_{ji})

$ =\sum_{i<j}(A_{ii}A_{jj}-A_{ij}A_{ji})