第3不変量を第1不変量と第2不変量で表す

$ J_1^3=(\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2)^3

$ =6\lambda_0\lambda_1\lambda_2+3(\lambda_0^2\lambda_1+\lambda_0^2\lambda_2+\lambda_0\lambda_1^2+\lambda_1^2\lambda_2+\lambda_0\lambda_2^2+\lambda_1\lambda_2^2)+\lambda_0^3+\lambda_1^3+\lambda_2^3

$ = 3\lambda_0(\lambda_0\lambda_1+\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_0)+3\lambda_1(\lambda_0\lambda_1+\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_0)+3\lambda_2(\lambda_0\lambda_1+\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_0)+\lambda_0^3+\lambda_1^3+\lambda_2^3-3\lambda_0\lambda_1\lambda_2

$ =3J_1J_2+\lambda_0^3+\lambda_1^3+\lambda_2^3-3J_3

いややっぱ無理っぽい

この定理を使うので、次元によって結果が異なる

$ \bm T^2-J_1\bm T+J_3\bm I=\bm 0

$ \implies{\rm tr}(\bm T^2)-J_1^2+2J_3=0

traceをとった

$ \iff J_3=\frac12(J_1^2-{\rm tr}(\bm T^2))=J_2

$ \bm T^3-J_1\bm T^2+J_2\bm A-J_3\bm I=\bm 0

$ \implies{\rm tr}(\bm T^3)-J_1{\rm tr}(\bm T^2)+J_1J_2-3J_3=0

traceをとった

$ \iff J_3=\frac13({\rm tr}(\bm T^3)-J_1{\rm tr}(\bm T^2)+J_1J_2)

$ =\frac13({\rm tr}(\bm T^3)+J_1(2J_2-J_1^2)+J_1J_2)

$ =\frac13({\rm tr}(\bm T^3)+3J_1J_2-J_1^3)

$ =J_1J_2-\frac13(J_1^3-{\rm tr}(\bm T^3))

2次元の場合と似たような項が現れる

3次元のとき

$ I_{\bm A^3}-I_{\bm A}I_{\bm A^2}+I\!I_{\bm A}'I_{\bm A}-3I\!I\!I_{\bm A}=0

$ \iff I\!I\!I_{\bm A}=\frac13(I_{\bm A^3}+I_{\bm A}(I\!I_{\bm A}'-I_{\bm A^2}))

$ =\frac13(I_{\bm A^3}+I_{\bm A}(\frac12I_{\bm A}^2-\frac32I_{\bm A^2}))

$ =\frac16{I_{\bm A}}^3-\frac12I_{\bm A}I_{\bm A^2}+\frac13I_{\bm A^3}

$ =\frac16{I_{\bm A}}^3+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'-\frac12{I_{\bm A}}^3+\frac13I_{\bm A^3}

$ \because I\!I_{\bm A}'-\frac12I_{\bm A}^2=-\frac12I_{\bm A^2}

$ =-\frac13{I_{\bm A}}^3+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'+\frac13I_{\bm A^3}

$ =-\frac13\left({I_{\bm A}}^3-I_{\bm A^3}\right)+I_{\bm A}I\!I_{\bm A}'